5. Вычислите значение выражения \( \sin \left(\operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right) \).

Вычисляем значение выражения:

1. Шаг 1: Найдем \(\operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\)

   Мы ищем угол \( x \), такой что \( \operatorname{ctg}(x) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \). Так как котангенс отрицателен, угол находится во второй четверти. Известно, что \( \operatorname{ctg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \).

   Таким образом, \( \operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{2\pi}{3} \).

2. Шаг 2: Вычислим \( \sin \left(\frac{2\pi}{3}\right) \)

   Нам нужно найти синус угла \( \frac{2\pi}{3} \). Известно, что \( \sin \left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)