Вычислите значение выражения: \( \frac{12}{\sin^2 27^{\circ} + \cos^2 207^{\circ}} \)

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Применим формулу приведения для \( \cos^2 207^{\circ} \). Заметим, что \( 207^{\circ} = 180^{\circ} + 27^{\circ} \).

Тогда \( \cos(180^{\circ} + \alpha) = -\cos \alpha \).

Следовательно, \( \cos 207^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 27^{\circ}) = -\cos 27^{\circ} \).

Возведём в квадрат: \( \cos^2 207^{\circ} = (-\cos 27^{\circ})^2 = \cos^2 27^{\circ} \).

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{12}{\sin^2 27^{\circ} + \cos^2 207^{\circ}} = \frac{12}{\sin^2 27^{\circ} + \cos^2 27^{\circ}} \]

Используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 27^{\circ} + \cos^2 27^{\circ} = 1 \), получим:

\[ \frac{12}{1} = 12 \]

Ответ: 12