Вычислите значение выражения $$\frac{x^3 y - xy^3}{2(y-x)} \cdot \frac{3(x-y)}{x^2 - y^2}$$ при $$x=4$$ и $$y=\frac{1}{4}$$.

Алгебраическое упрощение:

• Вынесем общие множители в числителях и разложим знаменатели на множители:
• $$ \frac{xy(x^2 - y^2)}{2(y-x)} \cdot \frac{3(x-y)}{(x-y)(x+y)} $$
• Заметим, что $$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$$ и $$y-x = -(x-y)$$.
• $$ \frac{xy(x-y)(x+y)}{-2(x-y)} \cdot \frac{3(x-y)}{(x-y)(x+y)} $$
• Сократим одинаковые множители:
• $$ \frac{xy}{-2} \cdot \frac{3}{x+y} = -\frac{3xy}{2(x+y)} $$

Подстановка значений:

• Подставим $$x=4$$ и $$y=\frac{1}{4}$$ в упрощенное выражение:
• $$ -\frac{3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{4}}{2(4 + \frac{1}{4})} $$
• $$ -\frac{3 \cdot 1}{2(\frac{16}{4} + \frac{1}{4})} = -\frac{3}{2(\frac{17}{4})} $$
• $$ -\frac{3}{\frac{17}{2}} = -3 \cdot \frac{2}{17} = -\frac{6}{17} $$

Ответ: $$-\frac{6}{17}$$