212. Вычислите значения производной функции f в данных точках: a) f(x)=x²-3x, x=-. 2 x=2; б) f(x)=x-4x, x=0,01, x=4; B) f(x)=x-, x=2, x=- г) f(x)=x=-3, x=0. 3-x 2+x 213. Решите уравнение f'(x)=0, если: a) f(x)=2x²-x; B) f(x)=-1,5x²-4x; Ο че ло б) f(x)=x²+x²+12; a r) f(x)=2x-5x².

Задание 212

Привет! Давай вычислим значения производной функции f в данных точках. Будем делать это пошагово.

a) f(x) = x² - 3x, x = -1/2, x = 2

1. Найдем производную функции f(x):
\[f'(x) = 2x - 3\]
2. Вычислим значение производной в точке x = -1/2:
\[f'(-1/2) = 2 \cdot (-1/2) - 3 = -1 - 3 = -4\]
3. Вычислим значение производной в точке x = 2:
\[f'(2) = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1\]

Ответ: f'(-1/2) = -4, f'(2) = 1

б) f(x) = x - 4√x, x = 0.01, x = 4

1. Найдем производную функции f(x):
\[f'(x) = 1 - 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x}}\]
2. Вычислим значение производной в точке x = 0.01:
\[f'(0.01) = 1 - \frac{2}{\sqrt{0.01}} = 1 - \frac{2}{0.1} = 1 - 20 = -19\]
3. Вычислим значение производной в точке x = 4:
\[f'(4) = 1 - \frac{2}{\sqrt{4}} = 1 - \frac{2}{2} = 1 - 1 = 0\]

Ответ: f'(0.01) = -19, f'(4) = 0

в) f(x) = x - 1/x, x = √2, x = -1/√3

1. Найдем производную функции f(x):
\[f'(x) = 1 - (-\frac{1}{x^2}) = 1 + \frac{1}{x^2}\]
2. Вычислим значение производной в точке x = √2:
\[f'(\sqrt{2}) = 1 + \frac{1}{(\sqrt{2})^2} = 1 + \frac{1}{2} = 1.5\]
3. Вычислим значение производной в точке x = -1/√3:
\[f'(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 1 + \frac{1}{(-\frac{1}{\sqrt{3}})^2} = 1 + \frac{1}{\frac{1}{3}} = 1 + 3 = 4\]

Ответ: f'(√2) = 1.5, f'(-1/√3) = 4

г) f(x) = (3 - x) / (2 + x), x = -3, x = 0

1. Найдем производную функции f(x):
\[f'(x) = \frac{(-1)(2 + x) - (3 - x)(1)}{(2 + x)^2} = \frac{-2 - x - 3 + x}{(2 + x)^2} = \frac{-5}{(2 + x)^2}\]
2. Вычислим значение производной в точке x = -3:
\[f'(-3) = \frac{-5}{(2 - 3)^2} = \frac{-5}{(-1)^2} = -5\]
3. Вычислим значение производной в точке x = 0:
\[f'(0) = \frac{-5}{(2 + 0)^2} = \frac{-5}{4} = -1.25\]

Ответ: f'(-3) = -5, f'(0) = -1.25

Задание 213

Давай решим уравнение f'(x) = 0 для каждой функции. Будем делать это пошагово.

a) f(x) = 2x² - x

1. Найдем производную функции f(x):
\[f'(x) = 4x - 1\]
2. Решим уравнение f'(x) = 0:
\[4x - 1 = 0\] \[4x = 1\] \[x = \frac{1}{4}\]

Ответ: x = 1/4

б) f(x) = -2/3 x³ + x² + 12

1. Найдем производную функции f(x):
\[f'(x) = -2x^2 + 2x\]
2. Решим уравнение f'(x) = 0:
\[-2x^2 + 2x = 0\] \[-2x(x - 1) = 0\] \[x = 0 \text{ или } x = 1\]

Ответ: x = 0, x = 1

в) f(x) = x³/3 - 1.5x² - 4x

1. Найдем производную функции f(x):
\[f'(x) = x^2 - 3x - 4\]
2. Решим уравнение f'(x) = 0:
\[x^2 - 3x - 4 = 0\] Используем дискриминант D = b² - 4ac = (-3)² - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}\] \[x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4, x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1\]

Ответ: x = 4, x = -1

г) f(x) = 2x - 5x²

1. Найдем производную функции f(x):
\[f'(x) = 2 - 10x\]
2. Решим уравнение f'(x) = 0:
\[2 - 10x = 0\] \[10x = 2\] \[x = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\]

Ответ: x = 1/5

Ответ:

Молодец! Ты отлично справился с этими заданиями. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!