767. Вычислите значения тригонометрических функций угла в, зная, что: a) sin ẞ=\frac{40}{41} и \frac{\pi}{2}<β<π; в) tg ẞ=1 и л<<\frac{3π}{2}; 6) cos ẞ=\frac{4}{5} и \frac{3π}{2}<β<2n; г) ctg =3 и 0<B<\frac{\pi}{2}.

a) sin β = \frac{40}{41} и \frac{π}{2} < β < π

• β находится во второй четверти, где sin β > 0, cos β < 0, tg β < 0, ctg β < 0.
• Находим cos β, используя основное тригонометрическое тождество: sin²β + cos²β = 1 \[cos^2 β = 1 - sin^2 β = 1 - \left(\frac{40}{41}\right)^2 = 1 - \frac{1600}{1681} = \frac{1681 - 1600}{1681} = \frac{81}{1681}\] \[cos β = ±\sqrt{\frac{81}{1681}} = ±\frac{9}{41}\] Так как β во второй четверти, cos β < 0, следовательно, \[cos β = -\frac{9}{41}\]
• Находим tg β и ctg β: \[tg β = \frac{sin β}{cos β} = \frac{\frac{40}{41}}{-\frac{9}{41}} = -\frac{40}{9}\] \[ctg β = \frac{1}{tg β} = -\frac{9}{40}\]

б) cos β = \frac{4}{5} и \frac{3π}{2} < β < 2π

• β находится в четвертой четверти, где cos β > 0, sin β < 0, tg β < 0, ctg β < 0.
• Находим sin β, используя основное тригонометрическое тождество: sin²β + cos²β = 1 \[sin^2 β = 1 - cos^2 β = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}\] \[sin β = ±\sqrt{\frac{9}{25}} = ±\frac{3}{5}\] Так как β в четвертой четверти, sin β < 0, следовательно, \[sin β = -\frac{3}{5}\]
• Находим tg β и ctg β: \[tg β = \frac{sin β}{cos β} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}\] \[ctg β = \frac{1}{tg β} = -\frac{4}{3}\]

в) tg β = 1 и π < β < \frac{3π}{2}

• β находится в третьей четверти, где tg β > 0, cos β < 0, sin β < 0, ctg β > 0.
• Так как tg β = 1, то β = \frac{5π}{4}
• Находим sin β и cos β: \[sin β = -\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[cos β = -\frac{\sqrt{2}}{2}\] \[ctg β = \frac{1}{tg β} = 1\]

г) ctg β = 3 и 0 < β < \frac{π}{2}

• β находится в первой четверти, где sin β > 0, cos β > 0, tg β > 0, ctg β > 0.
• Находим tg β: \[tg β = \frac{1}{ctg β} = \frac{1}{3}\]
• Находим sin β и cos β. Сначала найдем sin²β и cos²β через tg β и основное тригонометрическое тождество: \[\frac{1}{cos^2 β} = 1 + tg^2 β = 1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}\] \[cos^2 β = \frac{9}{10}\] \[cos β = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}\] \[\frac{1}{sin^2 β} = 1 + ctg^2 β = 1 + 3^2 = 1 + 9 = 10\] \[sin^2 β = \frac{1}{10}\] \[sin β = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}\]

Ответ: a) cos β = -\frac{9}{41}, tg β = -\frac{40}{9}, ctg β = -\frac{9}{40}; б) sin β = -\frac{3}{5}, tg β = -\frac{3}{4}, ctg β = -\frac{4}{3}; в) sin β = -\frac{\sqrt{2}}{2}, cos β = -\frac{\sqrt{2}}{2}, ctg β = 1; г) sin β = \frac{\sqrt{10}}{10}, cos β = \frac{3\sqrt{10}}{10}, tg β = \frac{1}{3}