Вычислите: a) \frac{6^8 \cdot 5^2}{15^3 \cdot 2^4}; б) 2,5^3:(5^3;) в) 3.2^6-8.4^3 + 5.8^2; г) 7.\left(\frac{2}{3}\right)^5-\frac{2}{3}.\left(\frac{4}{9}\right)^2+3.\left(\frac{8}{27}\right)^3:\left(\frac{2}{3}\right)^4.

Привет! Разберем эти примеры вместе.

a)

Смотри, тут всё просто:

Преобразуем выражение, используя свойства степеней:

\[\frac{6^8 \cdot 5^2}{15^3 \cdot 2^4} = \frac{(2 \cdot 3)^8 \cdot 5^2}{(3 \cdot 5)^3 \cdot 2^4} = \frac{2^8 \cdot 3^8 \cdot 5^2}{3^3 \cdot 5^3 \cdot 2^4}\]

Сокращаем степени:

\[\frac{2^8 \cdot 3^8 \cdot 5^2}{3^3 \cdot 5^3 \cdot 2^4} = 2^{8-4} \cdot 3^{8-3} \cdot 5^{2-3} = 2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^{-1} = 16 \cdot 243 \cdot \frac{1}{5} = \frac{16 \cdot 243}{5} = \frac{3888}{5} = 777.6\]

б)

Преобразуем выражение:

\[2.5^3 : 5^3 = \left(\frac{2.5}{5}\right)^3 = \left(\frac{5}{2 \cdot 5}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} = 0.125\]

в)

Вычисляем:

\[3 \cdot 2^6 - 8 \cdot 4^3 + 5 \cdot 8^2 = 3 \cdot 64 - 8 \cdot 64 + 5 \cdot 64 = 192 - 512 + 320 = 0\]

г)

Упрощаем выражение:

\[7 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5 - \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^2 + 3 \cdot \left(\frac{8}{27}\right)^3 : \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 7 \cdot \frac{2^5}{3^5} - \frac{2}{3} \cdot \frac{4^2}{9^2} + 3 \cdot \frac{8^3}{27^3} : \frac{2^4}{3^4}\]

Вычисляем:

\[= 7 \cdot \frac{32}{243} - \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{81} + 3 \cdot \frac{512}{19683} : \frac{16}{81} = \frac{224}{243} - \frac{32}{243} + 3 \cdot \frac{512}{19683} \cdot \frac{81}{16} = \frac{224}{243} - \frac{32}{243} + \frac{3 \cdot 512 \cdot 81}{19683 \cdot 16} = \frac{224}{243} - \frac{32}{243} + \frac{124416}{314928} = \frac{192}{243} + \frac{8}{153} = \frac{64}{81} + \frac{8}{153} = \frac{64 \cdot 17 + 8 \cdot 9}{1377} = \frac{1088 + 72}{1377} = \frac{1160}{1377} \approx 0.842\]

Ответ:

a) 777.6

б) 0.125

в) 0

г) \(\frac{1160}{1377}\)

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно применил свойства степеней и выполнил арифметические действия.

Доп. профит: База: Повтори основные свойства степеней и правила действий с дробями.