1. Вычислите: a) (2/3)³; б) 4⁰ - 7². 2. Представьте в виде степени: a) x²*x³*x⁸; б) x¹⁵ : x¹⁰: x³. 3. Вычислите: (3²*3⁸)/3⁹ - (5⁷*11⁷)/55⁶ 4. Решите уравнение: ((x²)⁷*(x¹⁸)²):x³)/x⁴⁶ = 3289. 5. Не производя вычислений, расположите в порядке возрастания числа: (3,5)³; (-2)²; (-2)³; (-1)⁰; (-4 1/7)⁴; (-11)⁵.

1. Вычислите:

a) \(\left(\frac{2}{3}\right)^3\)

Давай разберем по порядку: Возводим числитель и знаменатель в куб.

\[\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}\]

б) \(4^0 - 7^2\)

Сначала найдем \(4^0\). Любое число в степени 0 равно 1.

\[4^0 = 1\]

Теперь найдем \(7^2\).

\[7^2 = 7 \times 7 = 49\]

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

\[4^0 - 7^2 = 1 - 49 = -48\]

2. Представьте в виде степени:

a) \(x^2 \cdot x^3 \cdot x^8\)

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.

\[x^2 \cdot x^3 \cdot x^8 = x^{2+3+8} = x^{13}\]

б) \(x^{15} : x^{10} : x^3\)

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.

\[x^{15} : x^{10} : x^3 = x^{15-10-3} = x^2\]

3. Вычислите:

\[\frac{3^2 \cdot 3^8}{3^9} - \frac{5^7 \cdot 11^7}{55^6}\]

Сначала упростим первое слагаемое:

\[\frac{3^2 \cdot 3^8}{3^9} = \frac{3^{2+8}}{3^9} = \frac{3^{10}}{3^9} = 3^{10-9} = 3^1 = 3\]

Теперь упростим второе слагаемое:

\[\frac{5^7 \cdot 11^7}{55^6} = \frac{(5 \cdot 11)^7}{55^6} = \frac{55^7}{55^6} = 55^{7-6} = 55^1 = 55\]

Подставляем упрощенные значения в исходное выражение:

\[3 - 55 = -52\]

4. Решите уравнение:

\[\frac{(x^2)^7 \cdot (x^{18})^2 : x^3}{x^{46}} = 3289\]

Упростим числитель:

\[(x^2)^7 = x^{2 \cdot 7} = x^{14}\]

\[(x^{18})^2 = x^{18 \cdot 2} = x^{36}\]

\[x^{14} \cdot x^{36} = x^{14+36} = x^{50}\]

\[x^{50} : x^3 = x^{50-3} = x^{47}\]

Теперь упростим все выражение:

\[\frac{x^{47}}{x^{46}} = x^{47-46} = x^1 = x\]

Таким образом, уравнение принимает вид:

\[x = 3289\]

5. Не производя вычислений, расположите в порядке возрастания числа:

Сначала определим знаки чисел:

\((3,5)^3\) - положительное число, так как положительное число в любой степени положительно.

\((-2)^2\) - положительное число, так как отрицательное число в четной степени положительно.

\((-2)^3\) - отрицательное число, так как отрицательное число в нечетной степени отрицательно.

\((-1)^0\) - положительное число, так как любое число в степени 0 равно 1 (положительное число).

\(\left(-4 \frac{1}{7}\right)^4\) - положительное число, так как отрицательное число в четной степени положительно.

\((-11)^5\) - отрицательное число, так как отрицательное число в нечетной степени отрицательно.

Теперь расположим числа в порядке возрастания (от меньшего к большему):

1. Отрицательные числа: \((-11)^5\) и \((-2)^3\). \((-11)^5\) будет меньше, так как абсолютное значение числа больше, а степень нечетная.

2. Далее идет \((-2)^3\).

3. Положительные числа: \((-1)^0\), \((-2)^2\), \((3,5)^3\), \(\left(-4 \frac{1}{7}\right)^4\).

4. \((-1)^0 = 1\) - самое маленькое положительное число.

5. \((-2)^2 = 4\)

6. \((3,5)^3 = 42,875\)

7. \(\left(-4 \frac{1}{7}\right)^4 = \left(-\frac{29}{7}\right)^4 = \frac{29^4}{7^4} = \frac{707281}{2401} \approx 294,57\)

Итоговый порядок:

\[(-11)^5; (-2)^3; (-1)^0; (-2)^2; (3,5)^3; \left(-4 \frac{1}{7}\right)^4\]

Ответ: \(\frac{8}{27}\), -48; \(x^{13}\), \(x^2\); -52; 3289; \((-11)^5; (-2)^3; (-1)^0; (-2)^2; (3,5)^3; \left(-4 \frac{1}{7}\right)^4\)

Молодец! Ты отлично справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!