5.415 Вычислите: a) 2 1/4 + 1/3 + 3/5 б) 23/24 - 5/12 - 1/6; в) 5/8 + 1/3 + 1/12 + 7/12; г) 5/6 - 1/8 + 5/12; д) 3 5/7 + 4 9/14 - 2 5/21; е) 2 1/3 + 1/5 - 1 1/8.

Решение:

а) \(2 \frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{3}{5}\)

• Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: \(2 \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}\).
• Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4, 3 и 5 будет 60.
• Умножаем числитель каждой дроби на дополнительный множитель:
  • \(\frac{9}{4} = \frac{9 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \frac{135}{60}\)
  • \(\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 20}{3 \cdot 20} = \frac{20}{60}\)
  • \(\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{36}{60}\)
• Складываем дроби: \(\frac{135}{60} + \frac{20}{60} + \frac{36}{60} = \frac{135 + 20 + 36}{60} = \frac{191}{60}\)
• Выделяем целую часть: \(\frac{191}{60} = 3 \frac{11}{60}\)

Ответ: \(3 \frac{11}{60}\)

б) \(\frac{23}{24} - \frac{5}{12} - \frac{1}{6}\)

• Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 24, 12 и 6 будет 24.
• Умножаем числитель каждой дроби на дополнительный множитель:
  • \(\frac{23}{24} = \frac{23}{24}\)
  • \(\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24}\)
  • \(\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4}{24}\)
• Вычитаем дроби: \(\frac{23}{24} - \frac{10}{24} - \frac{4}{24} = \frac{23 - 10 - 4}{24} = \frac{9}{24}\)
• Сокращаем дробь: \(\frac{9}{24} = \frac{3}{8}\)

Ответ: \(\frac{3}{8}\)

в) \(\frac{5}{8} + \frac{1}{3} + \frac{1}{12} + \frac{7}{12}\)

• Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 8, 3 и 12 будет 24.
• Умножаем числитель каждой дроби на дополнительный множитель:
  • \(\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}\)
  • \(\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{8}{24}\)
  • \(\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{2}{24}\)
  • \(\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{14}{24}\)
• Складываем дроби: \(\frac{15}{24} + \frac{8}{24} + \frac{2}{24} + \frac{14}{24} = \frac{15 + 8 + 2 + 14}{24} = \frac{39}{24}\)
• Выделяем целую часть и сокращаем дробь: \(\frac{39}{24} = 1 \frac{15}{24} = 1 \frac{5}{8}\)

Ответ: \(1 \frac{5}{8}\)

г) \(\frac{5}{6} - \frac{1}{8} + \frac{5}{12}\)

• Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 6, 8 и 12 будет 24.
• Умножаем числитель каждой дроби на дополнительный множитель:
  • \(\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}\)
  • \(\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{3}{24}\)
  • \(\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24}\)
• Вычитаем и складываем дроби: \(\frac{20}{24} - \frac{3}{24} + \frac{10}{24} = \frac{20 - 3 + 10}{24} = \frac{27}{24}\)
• Выделяем целую часть и сокращаем дробь: \(\frac{27}{24} = 1 \frac{3}{24} = 1 \frac{1}{8}\)

Ответ: \(1 \frac{1}{8}\)

д) \(3 \frac{5}{7} + 4 \frac{9}{14} - 2 \frac{5}{21}\)

• Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
  • \(3 \frac{5}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{26}{7}\)
  • \(4 \frac{9}{14} = \frac{4 \cdot 14 + 9}{14} = \frac{65}{14}\)
  • \(2 \frac{5}{21} = \frac{2 \cdot 21 + 5}{21} = \frac{47}{21}\)
• Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7, 14 и 21 будет 42.
• Умножаем числитель каждой дроби на дополнительный множитель:
  • \(\frac{26}{7} = \frac{26 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{156}{42}\)
  • \(\frac{65}{14} = \frac{65 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{195}{42}\)
  • \(\frac{47}{21} = \frac{47 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{94}{42}\)
• Складываем и вычитаем дроби: \(\frac{156}{42} + \frac{195}{42} - \frac{94}{42} = \frac{156 + 195 - 94}{42} = \frac{257}{42}\)
• Выделяем целую часть: \(\frac{257}{42} = 6 \frac{5}{42}\)

Ответ: \(6 \frac{5}{42}\)

е) \(2 \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - 1 \frac{1}{8}\)

• Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
  • \(2 \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}\)
  • \(1 \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{9}{8}\)
• Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3, 5 и 8 будет 120.
• Умножаем числитель каждой дроби на дополнительный множитель:
  • \(\frac{7}{3} = \frac{7 \cdot 40}{3 \cdot 40} = \frac{280}{120}\)
  • \(\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 24}{5 \cdot 24} = \frac{24}{120}\)
  • \(\frac{9}{8} = \frac{9 \cdot 15}{8 \cdot 15} = \frac{135}{120}\)
• Складываем и вычитаем дроби: \(\frac{280}{120} + \frac{24}{120} - \frac{135}{120} = \frac{280 + 24 - 135}{120} = \frac{169}{120}\)
• Выделяем целую часть: \(\frac{169}{120} = 1 \frac{49}{120}\)

Ответ: \(1 \frac{49}{120}\)