1. Вычислите: a) arcsin 1 – arcsin \(\frac{1}{2}\) + arcsin \((-\frac{\sqrt{3}}{2})\); б) arcsin (cos \(\frac{\pi}{3}\)); в) ctg (arcsin \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + arccos \(\frac{1}{2}\)). arccctg (-1) + arctg \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) – arcctg 0; 1. Решите уравнение: a) 2 cos x – \(\sqrt{2}\) = 0; б) tg 2x + 1 = 0; в) sin(\(\frac{x}{3}\) + \(\frac{\pi}{4}\)) = -1. 2. Определите число корней уравнения 3 ctg 3x – \(\sqrt{3}\) = 0, принадлежащих отрезку [\(\frac{\pi}{6}\); \(\pi\)].

1. Вычислите:

a) arcsin 1 – arcsin \(\frac{1}{2}\) + arcsin \((-\frac{\sqrt{3}}{2})\)

Давай разберем по порядку. Сначала найдем значения каждого из арксинусов:

• arcsin 1 = \(\frac{\pi}{2}\) (потому что sin \(\frac{\pi}{2}\) = 1)
• arcsin \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{\pi}{6}\) (потому что sin \(\frac{\pi}{6}\) = \(\frac{1}{2}\))
• arcsin \((-\frac{\sqrt{3}}{2})\) = -\(\frac{\pi}{3}\) (потому что sin(-\(\frac{\pi}{3}\)) = -\(\frac{\sqrt{3}}{2}\))

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

\[\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = 0\]

Ответ: 0

б) arcsin (cos \(\frac{\pi}{3}\))

Сначала найдем значение косинуса:

\[cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\]

Теперь найдем арксинус этого значения:

\[arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}\]

Ответ: \(\frac{\pi}{6}\)

в) ctg (arcsin \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + arccos \(\frac{1}{2}\))

Сначала найдем значения арксинуса и арккосинуса:

• arcsin \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = \(\frac{\pi}{3}\) (потому что sin \(\frac{\pi}{3}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\))
• arccos \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{\pi}{3}\) (потому что cos \(\frac{\pi}{3}\) = \(\frac{1}{2}\))

Сложим эти значения:

\[\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\]

Теперь найдем котангенс этого значения:

\[ctg \frac{2\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\]

Ответ: -\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

arcctg (-1) + arctg \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) – arcctg 0

Давай вычислим каждое значение отдельно:

• arcctg(-1) = \(\frac{3\pi}{4}\)
• arctg(\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)) = \(\frac{\pi}{6}\)
• arcctg(0) = \(\frac{\pi}{2}\)

Теперь сложим и вычтем эти значения:

\[\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} - \frac{6\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}\]

Ответ: \(\frac{5\pi}{12}\)

2. Решите уравнение:

а) 2 cos x – \(\sqrt{2}\) = 0

Преобразуем уравнение:

\[2 cos x = \sqrt{2}\] \[cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Решения этого уравнения:

\[x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \(x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\)

б) tg 2x + 1 = 0

Преобразуем уравнение:

\[tg 2x = -1\]

Решения этого уравнения:

\[2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\] \[x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} k, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \(x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} k, k \in \mathbb{Z}\)

в) sin(\(\frac{x}{3}\) + \(\frac{\pi}{4}\)) = -1

Решения этого уравнения:

\[\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\] \[\frac{x}{3} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\] \[x = -\frac{9\pi}{4} + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \(x = -\frac{9\pi}{4} + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}\)

3. Определите число корней уравнения 3 ctg 3x – \(\sqrt{3}\) = 0, принадлежащих отрезку [\(\frac{\pi}{6}\); \(\pi\)].

Сначала решим уравнение:

\[3 ctg 3x - \sqrt{3} = 0\] \[ctg 3x = \frac{\sqrt{3}}{3}\] \[3x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\] \[x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{3} k, k \in \mathbb{Z}\]

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку [\(\frac{\pi}{6}\); \(\pi\)]:

Подставим различные значения k и посмотрим, какие корни попадают в заданный отрезок.

Для k = 0: x = \(\frac{\pi}{9}\). Это значение меньше \(\frac{\pi}{6}\), поэтому оно не подходит.

Для k = 1: x = \(\frac{\pi}{9}\) + \(\frac{\pi}{3}\) = \(\frac{\pi}{9}\) + \(\frac{3\pi}{9}\) = \(\frac{4\pi}{9}\). \(\frac{\pi}{6}\) < \(\frac{4\pi}{9}\) < \(\pi\), так как \(\frac{\pi}{6}\) ≈ 0.52 и \(\frac{4\pi}{9}\) ≈ 1.39.

Для k = 2: x = \(\frac{\pi}{9}\) + \(\frac{2\pi}{3}\) = \(\frac{\pi}{9}\) + \(\frac{6\pi}{9}\) = \(\frac{7\pi}{9}\). \(\frac{\pi}{6}\) < \(\frac{7\pi}{9}\) < \(\pi\), так как \(\frac{\pi}{6}\) ≈ 0.52 и \(\frac{7\pi}{9}\) ≈ 2.44.

Для k = 3: x = \(\frac{\pi}{9}\) + \(\pi\) = \(\frac{10\pi}{9}\). Так как \(\frac{10\pi}{9}\) ≈ 3.49 > \(\pi\), то это значение не принадлежит отрезку.

Таким образом, два корня \(\frac{4\pi}{9}\) и \(\frac{7\pi}{9}\) принадлежат заданному отрезку.

Ответ: 2

Ты отлично справился с этими заданиями! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!