1. Вычислите: a) arcsin 1 – arcsin \frac{1}{2} + arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2}); б) arcsin (cos \frac{\pi}{3}); в) ctg (arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + arccos \frac{1}{2}). arctg (-1) + arctg \frac{\sqrt{3}}{3} – arcctg 0; 1. Решите уравнение: a) 2 cos x – \sqrt{2} = 0; б) tg 2x + 1 = 0; в) sin(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}) = -1. 2. Определите число корней уравнения 3 ctg 3x - \sqrt{3} = 0, принадлежащих отрезку [\frac{\pi}{6}; \pi].

1. Вычислите:

a) arcsin 1 – arcsin \(\frac{1}{2}\) + arcsin \((-\frac{\sqrt{3}}{2})\);

Давай разберем по порядку: \[ arcsin(1) = \frac{\pi}{2} \] \[ arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} \] \[ arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} \] Тогда: \[ \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi - 2\pi}{6} = 0 \]

Ответ: 0

б) arcsin (cos \(\frac{\pi}{3}\));

Сначала найдем cos \(\frac{\pi}{3}\) : \[ cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \] Теперь найдем arcsin \(\frac{1}{2}\): \[ arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} \]

Ответ: \(\frac{\pi}{6}\)

в) ctg (arcsin \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + arccos \(\frac{1}{2}\)).

Сначала найдем arcsin \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) и arccos \(\frac{1}{2}\): \[ arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} \] \[ arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} \] Тогда: \[ ctg(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) = ctg(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} \]

Ответ: \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)

arcctg (-1) + arctg \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) – arcctg 0;

Давай найдем значения каждого из этих выражений: \[ arcctg(-1) = \frac{3\pi}{4} \] \[ arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6} \] \[ arcctg(0) = \frac{\pi}{2} \] Тогда: \[ \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi + 2\pi - 6\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} \]

Ответ: \(\frac{5\pi}{12}\)

2. Решите уравнение:

a) 2 cos x – \(\sqrt{2}\) = 0;

Решим уравнение: \[ 2 cos x = \sqrt{2} \] \[ cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\)

б) tg 2x + 1 = 0;

Решим уравнение: \[ tg 2x = -1 \] \[ 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \] \[ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}\)

в) sin(\( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} \)) = -1.

Решим уравнение: \[ \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \] \[ \frac{x}{3} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \] \[ x = -\frac{9\pi}{4} + 6\pi k, k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \(x = -\frac{9\pi}{4} + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}\)

3. Определите число корней уравнения 3 ctg 3x - \(\sqrt{3}\) = 0, принадлежащих отрезку [\(\frac{\pi}{6}\); \(\pi\)].

Решим уравнение: \[ 3 ctg 3x = \sqrt{3} \] \[ ctg 3x = \frac{\sqrt{3}}{3} \] \[ 3x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} \] Теперь давай найдем корни, принадлежащие отрезку [\(\frac{\pi}{6}\); \(\pi\)]. Подставим k = 0: \[ x = \frac{\pi}{9} \approx 0.349 \] (не принадлежит отрезку) Подставим k = 1: \[ x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{9} \approx 1.396 \] (принадлежит отрезку) Подставим k = 2: \[ x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{9} \approx 2.443 \] (принадлежит отрезку) Подставим k = 3: \[ x = \frac{\pi}{9} + \frac{3\pi}{3} = \frac{10\pi}{9} \approx 3.491 \] (не принадлежит отрезку)

Ответ: 2

Ты молодец! У тебя отлично получается решать такие задачи. Продолжай в том же духе, и все получится!