Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
1. Вычислите: a) arcsin 1 − arcsin \frac{1}{2} + arcsin (−\frac{\sqrt{3}}{2}); б) arcsin (cos \frac{π}{3}); в) ctg (arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + arccos \frac{1}{2}). arccotg (−1) + arctg \frac{\sqrt{3}}{3} − arcctg 0; 1. Решите уравнение: a) 2 cos x − \sqrt{2} = 0; б) tg 2x + 1 = 0; в) sin(\frac{x}{3} + \frac{π}{4}) = −1. 2. Определите число корней уравнения 3 ctg 3x − \sqrt{3} = 0, принадлежащих отрезку [\frac{π}{6}; π].
Ответ:
Привет! Давай решим эти задачи вместе.
1. Вычислите:
а) arcsin 1 − arcsin \frac{1}{2} + arcsin (−\frac{\sqrt{3}}{2})
Сначала найдем значения каждого из арксинусов:
arcsin 1 = \frac{π}{2} (так как sin(\frac{π}{2}) = 1)
arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6} (так как sin(\frac{π}{6}) = \frac{1}{2})
arcsin (−\frac{\sqrt{3}}{2}) = −\frac{π}{3} (так как sin(−\frac{π}{3}) = −\frac{\sqrt{3}}{2})
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
\frac{π}{2} − \frac{π}{6} − \frac{π}{3} = \frac{3π}{6} − \frac{π}{6} − \frac{2π}{6} = 0
б) arcsin (cos \frac{π}{3})
Сначала найдем значение косинуса:
cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}
Теперь найдем арксинус этого значения:
arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6} (так как sin(\frac{π}{6}) = \frac{1}{2})
в) ctg (arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + arccos \frac{1}{2})
Сначала найдем значения арксинуса и арккосинуса:
arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{π}{3} (так как sin(\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2})
arccos \frac{1}{2} = \frac{π}{3} (так как cos(\frac{π}{3}) = \frac{1}{2})
Теперь подставим эти значения в выражение:
ctg (\frac{π}{3} + \frac{π}{3}) = ctg (\frac{2π}{3})
Так как ctg (\frac{2π}{3}) = −\frac{\sqrt{3}}{3}, то ответ:
−\frac{\sqrt{3}}{3}
arcctg (−1) + arctg \frac{\sqrt{3}}{3} − arcctg 0
Найдем значения каждого из арккотангенсов и арктангенса:
arccotg (−1) = \frac{3π}{4}
arctg \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{π}{6}
arcctg 0 = \frac{π}{2}
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
\frac{3π}{4} + \frac{π}{6} − \frac{π}{2} = \frac{9π}{12} + \frac{2π}{12} − \frac{6π}{12} = \frac{5π}{12}
2. Решите уравнение:
а) 2 cos x − \sqrt{2} = 0
2 cos x = \sqrt{2}
cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}
x = ±\frac{π}{4} + 2πk, где k ∈ Z
б) tg 2x + 1 = 0
tg 2x = −1
2x = −\frac{π}{4} + πk, где k ∈ Z
x = −\frac{π}{8} + \frac{πk}{2}, где k ∈ Z
в) sin(\frac{x}{3} + \frac{π}{4}) = −1
\frac{x}{3} + \frac{π}{4} = −\frac{π}{2} + 2πk, где k ∈ Z
\frac{x}{3} = −\frac{π}{2} − \frac{π}{4} + 2πk
\frac{x}{3} = −\frac{3π}{4} + 2πk
x = −\frac{9π}{4} + 6πk, где k ∈ Z
3. Определите число корней уравнения 3 ctg 3x − \sqrt{3} = 0, принадлежащих отрезку [\frac{π}{6}; π].
3 ctg 3x = \sqrt{3}
ctg 3x = \frac{\sqrt{3}}{3}
3x = \frac{π}{3} + πk, где k ∈ Z
x = \frac{π}{9} + \frac{πk}{3}, где k ∈ Z
Теперь найдем значения k, при которых x попадает в отрезок [\frac{π}{6}; π].
\frac{π}{6} ≤ \frac{π}{9} + \frac{πk}{3} ≤ π
Умножим все части на \frac{9}{π}:
\frac{9}{6} ≤ 1 + 3k ≤ 9
\frac{3}{2} ≤ 1 + 3k ≤ 9
Вычтем 1 из всех частей:
\frac{1}{2} ≤ 3k ≤ 8
Разделим все части на 3:
\frac{1}{6} ≤ k ≤ \frac{8}{3}
Так как k - целое число, возможные значения k: 1, 2.
Теперь найдем соответствующие значения x:
k = 1: x = \frac{π}{9} + \frac{π}{3} = \frac{4π}{9}
k = 2: x = \frac{π}{9} + \frac{2π}{3} = \frac{7π}{9}
Итак, на отрезке [\frac{π}{6}; π] есть два корня уравнения: \frac{4π}{9} и \frac{7π}{9}.
Ответ: a) 0; б) \(\frac{\pi}{6}\); в) \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\); arccotg (−1) + arctg \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) − arcctg 0 = \(\frac{5\pi}{12}\); 1. а) x = ±\(\frac{\pi}{4}\) + 2πk, где k ∈ Z; б) x = −\(\frac{\pi}{8}\) + \(\frac{\pi k}{2}\), где k ∈ Z; в) x = −\(\frac{9\pi}{4}\) + 6πk, где k ∈ Z; 2. 2 корня
Молодец! Ты отлично справился с этими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!
