Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
2. Вычислите. a) 4-5.82 б) \frac{3^{5}.27^{-3}}{9^{-3}} в) (14-2)3:14-5 г) \frac{5^{0}.25^{-7}}{125^{-4}}
Ответ:
Краткое пояснение: Для решения этих примеров необходимо упростить выражения, используя свойства степеней, и выполнить соответствующие вычисления.
а)
- Представим 4 и 8 как степени числа 2: 4 = 22, 8 = 23
- Тогда: 4-5 ⋅ 82 = (22)-5 ⋅ (23)2
- Упростим, используя свойство степени в степени: (am)n = a(m*n)
- Тогда: (22)-5 ⋅ (23)2 = 2-10 ⋅ 26
- Теперь упростим, используя свойство степеней при умножении: am * an = a(m+n)
- Тогда: 2-10 ⋅ 26 = 2(-10 + 6) = 2-4
- Представим в виде дроби: 2-4 = \(\frac{1}{2^4}\)
- Вычислим: \(\frac{1}{2^4}\) = \(\frac{1}{16}\)
б)
- Представим 27 и 9 как степени числа 3: 27 = 33, 9 = 32
- Тогда: \(\frac{3^5 \cdot 27^{-3}}{9^{-3}} = \frac{3^5 \cdot (3^3)^{-3}}{(3^2)^{-3}}\)
- Упростим, используя свойство степени в степени: (am)n = a(m*n)
- Тогда: \(\frac{3^5 \cdot (3^3)^{-3}}{(3^2)^{-3}} = \frac{3^5 \cdot 3^{-9}}{3^{-6}}\)
- Теперь упростим, используя свойство степеней при умножении и делении: \(\frac{a^m \cdot a^n}{a^k} = a^{(m+n-k)}\)
- Тогда: \(\frac{3^5 \cdot 3^{-9}}{3^{-6}} = 3^{(5-9-(-6))} = 3^{(5-9+6)} = 3^2\)
- Вычислим: 32 = 9
в)
- Сначала упростим выражение, используя свойство степени в степени: (am)n = a(m*n)
- Тогда: (14-2)3 : 14-5 = 14(-2 * 3) : 14-5 = 14-6 : 14-5
- Теперь упростим, используя свойство степеней при делении: am / an = a(m-n)
- Тогда: 14-6 : 14-5 = 14(-6 - (-5)) = 14-1
- Представим в виде дроби: 14-1 = \(\frac{1}{14}\)
г)
- Представим 25 и 125 как степени числа 5: 25 = 52, 125 = 53
- Используем, что любое число в степени 0 равно 1: 50 = 1
- Тогда: \(\frac{5^0 \cdot 25^{-7}}{125^{-4}} = \frac{1 \cdot (5^2)^{-7}}{(5^3)^{-4}}\)
- Упростим, используя свойство степени в степени: (am)n = a(m*n)
- Тогда: \(\frac{1 \cdot (5^2)^{-7}}{(5^3)^{-4}} = \frac{5^{-14}}{5^{-12}}\)
- Теперь упростим, используя свойство степеней при делении: am / an = a(m-n)
- Тогда: \(\frac{5^{-14}}{5^{-12}} = 5^{(-14 - (-12))} = 5^{(-14 + 12)} = 5^{-2}\)
- Представим в виде дроби: 5-2 = \(\frac{1}{5^2}\)
- Вычислим: \(\frac{1}{5^2}\) = \(\frac{1}{25}\)
Ответ: а) \(\frac{1}{16}\); б) 9; в) \(\frac{1}{14}\); г) \(\frac{1}{25}\)
