Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика1. Вычислите: a) (cos135°)²-sin 150°. 6) tg 260° + tg 430°. B) sin 120° cos 150° tg 135° tg 45° sin² 45°. 2. Найдите угол COD, если точка С лежит на положительной по- луоси ОУ, а точка Д имеет координаты ($$\frac{1}{2}$$;$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$) 3. Найдите: a) sina, если |cosa|=$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$. б) cosa, если sina =$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$. в) tga, если sina =$$\frac{1}{7}$$. 4. Постройте угол А, если: a) cosa = -$$\frac{1}{3}$$; б) tga = $$\frac{3}{4}$$; в) tga = -$$\frac{4}{7}$$.
Ответ:
1. Вычислите:
a) (cos135°)²-sin 150°.
Сначала найдем значения cos135° и sin150°:
- cos135° = -$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$
- sin150° = $$\frac{1}{2}$$
Теперь подставим эти значения в выражение:
\[\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} = \frac{2}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\]Ответ: 0
б) tg 260° + tg 430°.
Сначала упростим tg 260° и tg 430°:
- tg 260° = tg (180° + 80°) = tg 80°
- tg 430° = tg (360° + 70°) = tg 70°
Теперь у нас есть:
\[tg 80° + tg 70°\]К сожалению, мы не можем упростить это выражение дальше без использования калькулятора или таблиц.
Ответ: tg 80° + tg 70°
в) sin 120° \(\cdot\) cos 150° \(\cdot\) tg 135° \(\cdot\) tg 45° \(\cdot\) sin² 45°.
Сначала найдем значения каждого тригонометрического выражения:
- sin 120° = $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$
- cos 150° = -$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$
- tg 135° = -1
- tg 45° = 1
- sin 45° = $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$, значит sin² 45° = $$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$
Теперь подставим эти значения в выражение:
\[\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot (-1) \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot (-1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}\]Ответ: $$\frac{3}{8}$$
2. Найдите угол COD, если точка C лежит на положительной полуоси OY, а точка D имеет координаты ($$\frac{1}{2}$$;$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$).
Точка C лежит на положительной полуоси OY, значит, ее координаты (0; y), где y > 0. Точка D имеет координаты ($$\frac{1}{2}$$;$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$).
Угол COD можно найти, используя координаты точки D. Обозначим угол COD как α. Тогда:
\[cos \alpha = \frac{x}{r}, sin \alpha = \frac{y}{r}\]где x = $$\frac{1}{2}$$, y = $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$, и r - расстояние от начала координат до точки D.
Найдем r:
\[r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = 1\]Теперь найдем угол α:
\[cos \alpha = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}\] \[sin \alpha = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]Угол, для которого cos α = $$\frac{1}{2}$$ и sin α = $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$, равен 60° или $$\frac{\pi}{3}$$ радиан.
Ответ: 60°
3. Найдите:
a) sinα, если |cosα|=$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$.
Мы знаем, что sin²α + cos²α = 1. Тогда:
\[sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha\]Если |cosα|=$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$, то cos²α = $$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$$.
Значит:
\[sin^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\] \[sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}\]Ответ: ±$$\frac{1}{2}$$
б) cosα, если sinα =$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$.
Мы знаем, что sin²α + cos²α = 1. Тогда:
\[cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha\]Если sinα = $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$, то sin²α = $$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$.
Значит:
\[cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\] \[cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\]Ответ: ±$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$
в) tgα, если sinα =$$\frac{1}{7}$$.
Мы знаем, что tgα = $$\frac{sin \alpha}{cos \alpha}$$. Нам нужно найти cosα.
Мы знаем, что sin²α + cos²α = 1. Тогда:
\[cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha\]Если sinα = $$\frac{1}{7}$$, то sin²α = $$\left(\frac{1}{7}\right)^2 = \frac{1}{49}$$.
Значит:
\[cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}\] \[cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{48}{49}} = \pm \frac{\sqrt{48}}{7} = \pm \frac{4\sqrt{3}}{7}\]Теперь найдем tgα:
\[tg \alpha = \frac{\frac{1}{7}}{\pm \frac{4\sqrt{3}}{7}} = \pm \frac{1}{4\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{12}\]Ответ: ±$$\frac{\sqrt{3}}{12}$$
4. Постройте угол А, если:
a) cosα = -$$\frac{1}{3}$$;
б) tgα = $$\frac{3}{4}$$;
в) tgα = -$$\frac{4}{7}$$.
К сожалению, я не могу нарисовать угол. Но ты можешь воспользоваться транспортиром и построить эти углы, зная значения косинуса и тангенса.
Ответ: (см. решение выше)
