Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
1. Вычислите: a) 81logg √18; б) log √5 500- 2log √5 2; в) logo,164 logo,1 256 2. Решите уравнение: a) lg(20 - x) = 21gx; б) log6 x = 2logx 6 - 1. 3. Найдите наибольшее значение функции у = 5 + 12ex - e2x на отрезке [1; 2]. 4. Решите неравенство log7 (x² + x – 2) ≤ 2 + log7 x-1 x+2. 5. Найдите область определения функции y = logx+5 (x² + 5x - 6) √25 - x2 - 5
Ответ:
Привет! Давай вместе решим эти задачи. У тебя все получится!
1. Вычислите:
а) \( 81^{\log_9 \sqrt{18}} \)
\( 81^{\log_9 \sqrt{18}} = (9^2)^{\log_9 \sqrt{18}} = 9^{2\log_9 \sqrt{18}} = 9^{\log_9 (\sqrt{18})^2} = 9^{\log_9 18} = 18 \)
б) \( \log_{\sqrt{5}} 500 - 2\log_{\sqrt{5}} 2 \)
\( \log_{\sqrt{5}} 500 - 2\log_{\sqrt{5}} 2 = \log_{\sqrt{5}} 500 - \log_{\sqrt{5}} 2^2 = \log_{\sqrt{5}} 500 - \log_{\sqrt{5}} 4 = \log_{\sqrt{5}} \frac{500}{4} = \log_{\sqrt{5}} 125 = \log_{\sqrt{5}} (\sqrt{5})^6 = 6 \)
в) \( \frac{\log_{0.1} 64}{\log_{0.1} 256} \)
\( \frac{\log_{0.1} 64}{\log_{0.1} 256} = \frac{\log_{0.1} 2^6}{\log_{0.1} 2^8} = \frac{6 \log_{0.1} 2}{8 \log_{0.1} 2} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75 \)
2. Решите уравнение:
а) \( \lg(20 - x) = 2\lg x \)
\( \lg(20 - x) = \lg x^2 \)
\( 20 - x = x^2 \)
\( x^2 + x - 20 = 0 \)
\( D = 1^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81 \)
\( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
\( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)
Проверка:
\( x = 4: \lg(20 - 4) = \lg 16, 2\lg 4 = \lg 4^2 = \lg 16 \) - подходит
\( x = -5: \lg(20 - (-5)) = \lg 25, 2\lg (-5) \) - не подходит, так как логарифм отрицательного числа не существует
б) \( \log_6 x = 2\log_x 6 - 1 \)
\( \log_6 x = 2 \frac{1}{\log_6 x} - 1 \)
Пусть \( y = \log_6 x \), тогда
\( y = \frac{2}{y} - 1 \)
\( y^2 = 2 - y \)
\( y^2 + y - 2 = 0 \)
\( D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \)
\( y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
\( y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)
\( \log_6 x = 1 \Rightarrow x = 6^1 = 6 \)
\( \log_6 x = -2 \Rightarrow x = 6^{-2} = \frac{1}{36} \)
3. Найдите наибольшее значение функции \( y = 5 + 12e^x - e^{2x} \) на отрезке [1; 2].
Найдем производную функции:
\( y' = 12e^x - 2e^{2x} \)
Приравняем к нулю:
\( 12e^x - 2e^{2x} = 0 \)
\( 2e^x(6 - e^x) = 0 \)
\( e^x = 0 \) - не имеет решений
\( 6 - e^x = 0 \Rightarrow e^x = 6 \Rightarrow x = \ln 6 \)
\( \ln 6 \approx 1.79 \) - принадлежит отрезку [1; 2]
Теперь найдем значения функции на концах отрезка и в точке \( x = \ln 6 \):
\( y(1) = 5 + 12e^1 - e^{2\cdot 1} = 5 + 12e - e^2 \approx 5 + 12 \cdot 2.72 - 2.72^2 = 5 + 32.64 - 7.3984 = 30.2016 \)
\( y(2) = 5 + 12e^2 - e^{2\cdot 2} = 5 + 12e^2 - e^4 \approx 5 + 12 \cdot 7.39 - 7.39^2 = 5 + 88.68 - 54.6121 = 39.0679 \)
\( y(\ln 6) = 5 + 12e^{\ln 6} - e^{2\ln 6} = 5 + 12 \cdot 6 - (e^{\ln 6})^2 = 5 + 72 - 6^2 = 5 + 72 - 36 = 41 \)
Наибольшее значение функции: 41
4. Решите неравенство \( \log_7(x^2 + x - 2) \le 2 + \log_7 \frac{x-1}{x+2} \)
\( \log_7(x^2 + x - 2) \le 2 + \log_7 \frac{x-1}{x+2} \)
ОДЗ:
\( x^2 + x - 2 > 0 \Rightarrow (x-1)(x+2) > 0 \Rightarrow x < -2 \cup x > 1 \)
\( \frac{x-1}{x+2} > 0 \Rightarrow x < -2 \cup x > 1 \)
\( \log_7((x-1)(x+2)) \le 2 + \log_7 \frac{x-1}{x+2} \)
\( \log_7((x-1)(x+2)) - \log_7 \frac{x-1}{x+2} \le 2 \)
\( \log_7 \frac{(x-1)(x+2)}{\frac{x-1}{x+2}} \le 2 \)
\( \log_7 (x+2)^2 \le 2 \)
\( (x+2)^2 \le 7^2 \)
\( (x+2)^2 \le 49 \)
\( -7 \le x+2 \le 7 \)
\( -9 \le x \le 5 \)
Учитывая ОДЗ:
\( -9 \le x < -2 \cup 1 < x \le 5 \)
5. Найдите область определения функции \( y = \frac{\log_{x+5} (x^2 + 5x - 6)}{\sqrt{25 - x^2} - 5} \)
1) \( x+5 > 0 \) и \( x+5
e 1 \)
e 1 \)
\( x > -5 \) и \( x
e -4 \)
e -4 \)
2) \( x^2 + 5x - 6 > 0 \)
\( (x+6)(x-1) > 0 \)
\( x < -6 \cup x > 1 \)
3) \( 25 - x^2 \ge 0 \)
\( x^2 \le 25 \)
\( -5 \le x \le 5 \)
4) \( \sqrt{25 - x^2} - 5
e 0 \)
e 0 \)
\( \sqrt{25 - x^2}
e 5 \)
e 5 \)
\( 25 - x^2
e 25 \)
e 25 \)
\( x^2
e 0 \)
e 0 \)
\( x
e 0 \)
e 0 \)
Объединяя все условия:
\( x \in (-5; -4) \cup (1; 5] \)
Ответ: 1. а) 18; б) 6; в) 0.75. 2. а) 4; б) 6 и 1/36. 3. 41. 4. \( -9 \le x < -2 \cup 1 < x \le 5 \). 5. \( x \in (-5; -4) \cup (1; 5] \)
Отлично! Ты справился с этими задачами. Продолжай в том же духе! У тебя все получится!