1. Вычислить: log, 16 1) 2 2) 51+log53 3) log3 135-log3 20+ 2log3 6 2. В одной системе координат схематически построить графики функций у = 3. Найти область определения функции у = log3 (x² - 13x + 12) 4. Решите неравенство и укажите все его целые решения log3x > log3(5 – x) 5. Решите неравенство: log, (x-5) a) 3 > -1 6) log₄(x-2)+log₄(x-8) <2 6. Решите уравнение: a) log5(2x - 1) = 2 6) log2(x - 2) + log2 x = 3 [log₂ x-log₂ y = 2, x-2y=12 B) log₁² x+ 3log₁ x+ 2 = 0 2 2 7. Решите систему уравнений

Добрый день! Сейчас помогу вам с этим заданием. Будем решать все по порядку.

1. Вычислить:

1) \(\log_{\frac{1}{2}} 16\)

Давай вспомним, что такое логарифм. Логарифм числа b по основанию a - это показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b. В нашем случае, нужно найти такую степень, в которую нужно возвести \(\frac{1}{2}\), чтобы получить 16.

\(\log_{\frac{1}{2}} 16 = x\)

\((\frac{1}{2})^x = 16\)

\((2^{-1})^x = 2^4\)

\(2^{-x} = 2^4\)

\(-x = 4\)

\(x = -4\)

Ответ: \(\log_{\frac{1}{2}} 16 = -4\)

2) \(5^{1 + \log_5 3}\)

Используем свойство степеней: \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\)

Тогда: \(5^{1 + \log_5 3} = 5^1 \cdot 5^{\log_5 3}\)

Используем основное логарифмическое тождество: \(a^{\log_a b} = b\)

В нашем случае: \(5^{\log_5 3} = 3\)

Тогда: \(5^1 \cdot 5^{\log_5 3} = 5 \cdot 3 = 15\)

Ответ: \(5^{1 + \log_5 3} = 15\)

3) \(\log_3 135 - \log_3 20 + 2\log_3 6\)

Используем свойства логарифмов:

• \(\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}\)
• \(n \log_a b = \log_a b^n\)

Тогда: \(\log_3 135 - \log_3 20 + 2\log_3 6 = \log_3 135 - \log_3 20 + \log_3 6^2 = \log_3 135 - \log_3 20 + \log_3 36\)

\( = \log_3 \frac{135}{20} + \log_3 36 = \log_3 \frac{135 \cdot 36}{20} = \log_3 \frac{135 \cdot 9}{5} = \log_3 (27 \cdot 9) = \log_3 (3^3 \cdot 3^2) = \log_3 3^5 = 5\)

Ответ: \(\log_3 135 - \log_3 20 + 2\log_3 6 = 5\)

2. В одной системе координат схематически построить графики функций:

\(y = \log_{\frac{1}{4}} x\) и \(y = (\frac{1}{4})^x\)

Это графики показательной и логарифмической функций с основанием меньше 1. Они будут убывающими. График \(y = \log_{\frac{1}{4}} x\) проходит через точку (1, 0), а график \(y = (\frac{1}{4})^x\) проходит через точку (0, 1). Они являются обратными друг другу относительно прямой y = x.

3. Найти область определения функции \(y = \log_3 (x^2 - 13x + 12)\)

Область определения логарифмической функции - это все значения x, при которых аргумент логарифма больше нуля.

То есть, нужно решить неравенство: \(x^2 - 13x + 12 > 0\)

Найдем корни квадратного уравнения: \(x^2 - 13x + 12 = 0\)

По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 13\), \(x_1 \cdot x_2 = 12\)

Корни: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 12\)

Тогда неравенство можно записать как: \((x - 1)(x - 12) > 0\)

Решаем методом интервалов. Отмечаем точки 1 и 12 на числовой прямой. Получаем три интервала: \((-\infty, 1)\), \((1, 12)\), \((12, +\infty)\).

Проверяем знак на каждом интервале. На интервале \((-\infty, 1)\) берем точку 0: \((0 - 1)(0 - 12) = (-1)(-12) = 12 > 0\). На интервале \((1, 12)\) берем точку 2: \((2 - 1)(2 - 12) = (1)(-10) = -10 < 0\). На интервале \((12, +\infty)\) берем точку 13: \((13 - 1)(13 - 12) = (12)(1) = 12 > 0\).

Тогда решение неравенства: \(x \in (-\infty, 1) \cup (12, +\infty)\)

Ответ: Область определения: \(x \in (-\infty, 1) \cup (12, +\infty)\)

4. Решите неравенство и укажите все его целые решения \(\log_3 x > \log_3 (5 - x)\)

Так как основание логарифма 3 > 1, то логарифмическая функция возрастает. Значит, можно снять логарифмы, сохранив знак неравенства.

\(x > 5 - x\)

\(2x > 5\)

\(x > 2.5\)

Но нужно учесть, что аргументы логарифмов должны быть положительными.

То есть: \(x > 0\) и \(5 - x > 0\)

\(x > 0\) и \(x < 5\)

Тогда решение: \(0 < x < 5\)

С учетом условия \(x > 2.5\), получаем: \(2.5 < x < 5\)

Целые решения: 3 и 4.

Ответ: Решение: \(2.5 < x < 5\). Целые решения: 3 и 4.

5. Решите неравенство:

а) \(\log_{\frac{1}{3}} (x - 5) > -1\)

Так как основание логарифма \(\frac{1}{3} < 1\), то логарифмическая функция убывает. Значит, при снятии логарифмов нужно изменить знак неравенства.

\(x - 5 < (\frac{1}{3})^{-1}\)

\(x - 5 < 3\)

\(x < 8\)

Но нужно учесть, что аргумент логарифма должен быть положительным.

То есть: \(x - 5 > 0\)

\(x > 5\)

Тогда решение: \(5 < x < 8\)

Ответ: \(5 < x < 8\)

б) \(\log_4 (x - 2) + \log_4 (x - 8) < 2\)

Используем свойство логарифмов: \(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\)

Тогда: \(\log_4 (x - 2) + \log_4 (x - 8) = \log_4 ((x - 2)(x - 8))\)

Неравенство: \(\log_4 ((x - 2)(x - 8)) < 2\)

Так как основание логарифма 4 > 1, то логарифмическая функция возрастает. Значит, можно снять логарифмы, сохранив знак неравенства.

\((x - 2)(x - 8) < 4^2\)

\(x^2 - 10x + 16 < 16\)

\(x^2 - 10x < 0\)

\(x(x - 10) < 0\)

Решаем методом интервалов. Отмечаем точки 0 и 10 на числовой прямой. Получаем три интервала: \((-\infty, 0)\), \((0, 10)\), \((10, +\infty)\).

Проверяем знак на каждом интервале. На интервале \((-\infty, 0)\) берем точку -1: \((-1)(-1 - 10) = (-1)(-11) = 11 > 0\). На интервале \((0, 10)\) берем точку 1: \((1)(1 - 10) = (1)(-9) = -9 < 0\). На интервале \((10, +\infty)\) берем точку 11: \((11)(11 - 10) = (11)(1) = 11 > 0\).

Тогда решение неравенства: \(0 < x < 10\)

Но нужно учесть, что аргументы логарифмов должны быть положительными.

То есть: \(x - 2 > 0\) и \(x - 8 > 0\)

\(x > 2\) и \(x > 8\)

Тогда решение: \(x > 8\)

С учетом условия \(0 < x < 10\), получаем: \(8 < x < 10\)

Ответ: \(8 < x < 10\)

6. Решите уравнение:

а) \(\log_5 (2x - 1) = 2\)

Используем определение логарифма.

\(2x - 1 = 5^2\)

\(2x - 1 = 25\)

\(2x = 26\)

\(x = 13\)

Проверяем: \(2x - 1 > 0\), \(2 \cdot 13 - 1 = 25 > 0\). Значит, корень подходит.

Ответ: \(x = 13\)

б) \(\log_2 (x - 2) + \log_2 x = 3\)

Используем свойство логарифмов: \(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\)

Тогда: \(\log_2 (x - 2) + \log_2 x = \log_2 (x(x - 2))\)

Уравнение: \(\log_2 (x(x - 2)) = 3\)

Используем определение логарифма.

\(x(x - 2) = 2^3\)

\(x^2 - 2x = 8\)

\(x^2 - 2x - 8 = 0\)

По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -8\)

Корни: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -2\)

Проверяем: \(x - 2 > 0\) и \(x > 0\)

\(4 - 2 = 2 > 0\) и \(4 > 0\). Значит, корень x = 4 подходит.

\(-2 - 2 = -4 < 0\). Значит, корень x = -2 не подходит.

Ответ: \(x = 4\)

в) \((\log_{\frac{1}{2}} x)^2 + 3\log_{\frac{1}{2}} x + 2 = 0\)

Делаем замену: \(t = \log_{\frac{1}{2}} x\)

Тогда уравнение: \(t^2 + 3t + 2 = 0\)

По теореме Виета: \(t_1 + t_2 = -3\), \(t_1 \cdot t_2 = 2\)

Корни: \(t_1 = -1\), \(t_2 = -2\)

Возвращаемся к замене:

1) \(\log_{\frac{1}{2}} x = -1\)

\(x = (\frac{1}{2})^{-1}\)

\(x = 2\)

2) \(\log_{\frac{1}{2}} x = -2\)

\(x = (\frac{1}{2})^{-2}\)

\(x = 4\)

Проверяем: \(x > 0\). Оба корня подходят.

Ответ: \(x = 2\), \(x = 4\)

7. Решите систему уравнений:

\(\{ \begin{array}{c} \log_2 x - \log_2 y = 2 \\ x - 2y = 12 \end{array} \)

Из первого уравнения: \(\log_2 \frac{x}{y} = 2\)

\(\frac{x}{y} = 2^2\)

\(\frac{x}{y} = 4\)

\(x = 4y\)

Подставляем во второе уравнение: \(4y - 2y = 12\)

\(2y = 12\)

\(y = 6\)

Тогда: \(x = 4 \cdot 6 = 24\)

Проверяем: \(x > 0\) и \(y > 0\). Оба условия выполняются.

Ответ: \(x = 24\), \(y = 6\)

Ответ: 1) -4; 2) 15; 3) 5; 4) (2.5;5) целые 3 и 4; 5) a) (5;8) б) (8;10); 6) a) 13 б) 4 в) 2 и 4; 7) x=24, y=6

Молодец! Ты отлично справился с этим заданием. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся обращаться!