Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика1. Вычислить: 1) log3 1 27 Вариант 2 2log, 7 log2 56+2log2 12-log, 63 3 2) (3) 3) 2. В одной системе координат схематически построить графики функций у = log4 х и у = 4* 3. Найти область определения функции у = 1g (-x²-5x+14) 4. Решите неравенство и укажите все его целые решения 5. Решите неравенство: a) logs (x-3) < 2; 6. Решите уравнение: 6) log, (x-3,5) + log, (x-2) <1 log, (2x+3) log, (3x-2) 7 < 7 a) log4(2x+3) = 3; 6) log3(x8) + log3 x = 2 B) og3 x-log3 y = 1, 7. Решите систему уравнений (х-2y = 8 logo,22 x + log0,2 x-6 = 0
Ответ:
1. Вычислить:
1) \[\log_3{\frac{1}{27}}\]
Представим \[\frac{1}{27}\] как степень числа 3: \[\frac{1}{27} = 3^{-3}\]
Тогда: \[\log_3{3^{-3}} = -3\]
Ответ: -3
2) \[\left(\frac{1}{3}\right)^{2\log_3{7}}\]
Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов и степеней:
\[\left(\frac{1}{3}\right)^{2\log_3{7}} = (3^{-1})^{2\log_3{7}} = 3^{-2\log_3{7}} = 3^{\log_3{7^{-2}}} = 7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}\]
Ответ: \[\frac{1}{49}\]
3) \[\log_2{56} + 2\log_2{12} - \log_2{63}\]
Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов:
\[\log_2{56} + \log_2{12^2} - \log_2{63} = \log_2{56} + \log_2{144} - \log_2{63} = \log_2{\frac{56 \cdot 144}{63}} = \log_2{\frac{8 \cdot 7 \cdot 16 \cdot 9}{7 \cdot 9}} = \log_2{8 \cdot 16} = \log_2{2^3 \cdot 2^4} = \log_2{2^7} = 7\]
Ответ: 7
2. В одной системе координат схематически построить графики функций \(y = \log_4{x}\) и \(y = 4^x\)
Функция \(y = \log_4{x}\) является логарифмической функцией с основанием 4. Она определена для \(x > 0\) и возрастает.
Функция \(y = 4^x\) является показательной функцией с основанием 4. Она определена для всех \(x\) и возрастает.
Для построения графиков схематически, нужно отметить несколько ключевых точек и учесть общий вид функций.
График \(y = \log_4{x}\) проходит через точку (1, 0) и (4, 1). График \(y = 4^x\) проходит через точку (0, 1) и (1, 4).
3. Найти область определения функции \(y = \lg(-x^2 - 5x + 14)\)
Для нахождения области определения логарифмической функции необходимо, чтобы аргумент логарифма был положительным:
\[-x^2 - 5x + 14 > 0\]
Умножим на -1, чтобы изменить знаки и направление неравенства:
\[x^2 + 5x - 14 < 0\]
Решим квадратное уравнение \(x^2 + 5x - 14 = 0\) через дискриминант:
\[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81\]
\[x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2\]
\[x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7\]
Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -7\).
Решим неравенство методом интервалов. Рассматриваем интервалы \((-\infty, -7)\), \((-7, 2)\), \((2, +\infty)\).
Проверяем знак на каждом интервале:
- \((-\infty, -7)\): Подставим \(x = -8\). \((-8)^2 + 5(-8) - 14 = 64 - 40 - 14 = 10 > 0\) (не подходит)
- \((-7, 2)\): Подставим \(x = 0\). \(0^2 + 5(0) - 14 = -14 < 0\) (подходит)
- \((2, +\infty)\): Подставим \(x = 3\). \(3^2 + 5(3) - 14 = 9 + 15 - 14 = 10 > 0\) (не подходит)
Область определения: \((-7, 2)\)
Ответ: \((-7, 2)\)
4. Решите неравенство и укажите все его целые решения
\[\log_{\frac{1}{7}}(2x + 3) < \log_{\frac{1}{7}}(3x - 2)\]
Так как основание логарифма \(\frac{1}{7} < 1\), то функция убывает. Поэтому, когда мы убираем логарифмы, знак неравенства меняется:
\[2x + 3 > 3x - 2\]
Переносим переменные в одну сторону, числа в другую:
\[3 + 2 > 3x - 2x\]
\[5 > x\]
\[x < 5\]
Однако, необходимо учесть область определения логарифмов:
\[2x + 3 > 0 \Rightarrow 2x > -3 \Rightarrow x > -\frac{3}{2} = -1.5\]
\[3x - 2 > 0 \Rightarrow 3x > 2 \Rightarrow x > \frac{2}{3}\]
Таким образом, нужно, чтобы выполнялись условия:
\[x > \frac{2}{3}\] и \(x < 5\)
Следовательно, \(x \in (\frac{2}{3}, 5)\).
Целые решения: 1, 2, 3, 4.
Ответ: Целые решения: 1, 2, 3, 4.
5. Решите неравенство:
a) \[\log_5{(x - 3)} < 2\]
Преобразуем неравенство:
\[\log_5{(x - 3)} < \log_5{5^2}\]
\[\log_5{(x - 3)} < \log_5{25}\]
Поскольку основание логарифма равно 5 (больше 1), знак неравенства не меняется:
\[x - 3 < 25\]
\[x < 28\]
Но также необходимо учитывать область определения логарифма:
\[x - 3 > 0\]
\[x > 3\]
Итак, решение неравенства: \(3 < x < 28\)
Ответ: \(3 < x < 28\)
б) \[\log_7{(x - 3.5)} + \log_7{(x - 2)} < 1\]
Сначала найдем область определения:
\[x - 3.5 > 0 \Rightarrow x > 3.5\]
\[x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2\]
Таким образом, \(x > 3.5\)
Теперь решим неравенство:
\[\log_7{(x - 3.5)(x - 2)} < 1\]
\[\log_7{(x - 3.5)(x - 2)} < \log_7{7}\]
\[(x - 3.5)(x - 2) < 7\]
\[x^2 - 2x - 3.5x + 7 < 7\]
\[x^2 - 5.5x < 0\]
\[x(x - 5.5) < 0\]
Решаем методом интервалов:
\[x = 0\] и \(x = 5.5\]
Интервалы: \((-\infty, 0)\), \((0, 5.5)\), \((5.5, +\infty)\)
Проверяем знаки на каждом интервале:
- \((-\infty, 0)\): Не подходит, т.к. \(x > 3.5\)
- \((0, 5.5)\): Подставим \(x = 4\). \(4(4 - 5.5) = 4(-1.5) = -6 < 0\) (подходит)
- \((5.5, +\infty)\): Подставим \(x = 6\). \(6(6 - 5.5) = 6(0.5) = 3 > 0\) (не подходит)
Таким образом, решение неравенства: \(3.5 < x < 5.5\)
Ответ: \(3.5 < x < 5.5\)
6. Решите уравнение:
а) \[\log_4{(2x + 3)} = 3\]
Преобразуем уравнение:
\[2x + 3 = 4^3\]
\[2x + 3 = 64\]
\[2x = 61\]
\[x = \frac{61}{2} = 30.5\]
Проверим, входит ли это значение в область определения:
\[2x + 3 > 0 \Rightarrow 2(30.5) + 3 = 61 + 3 = 64 > 0\]
Таким образом, решение: \(x = 30.5\)
Ответ: \(x = 30.5\)
б) \[\log_3{(x - 8)} + \log_3{x} = 2\]
Сначала определим область определения:
\[x - 8 > 0 \Rightarrow x > 8\]
\[x > 0\]
То есть, \(x > 8\)
Преобразуем уравнение:
\[\log_3{(x - 8)x} = 2\]
\[x(x - 8) = 3^2\]
\[x^2 - 8x = 9\]
\[x^2 - 8x - 9 = 0\]
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100\]
\[x_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9\]
\[x_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]
Так как \(x > 8\), то подходит только \(x = 9\).
Ответ: \(x = 9\)
в) \[\log_{0.2}^2{x} + \log_{0.2}{x} - 6 = 0\]
Замена: \(t = \log_{0.2}{x}\)
\[t^2 + t - 6 = 0\]
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\]
\[t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\]
\[t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]
Обратная замена:
\[\log_{0.2}{x} = 2 \Rightarrow x = (0.2)^2 = 0.04\]
\[\log_{0.2}{x} = -3 \Rightarrow x = (0.2)^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125\]
Проверим область определения:
\[x > 0\]
Оба корня подходят.
Ответ: \(x = 0.04\) и \(x = 125\)
7. Решите систему уравнений:
\[\begin{cases} \log_3{x} - \log_3{y} = 1 \\ x - 2y = 8 \end{cases}\]
Преобразуем первое уравнение:
\[\log_3{\frac{x}{y}} = 1\]
\[\frac{x}{y} = 3\]
\[x = 3y\]
Подставим во второе уравнение:
\[3y - 2y = 8\]
\[y = 8\]
Тогда \(x = 3 \cdot 8 = 24\)
Проверим область определения:
\[x > 0 \Rightarrow 24 > 0\]
\[y > 0 \Rightarrow 8 > 0\]
Ответ: \(x = 24, y = 8\)
Ответ: См. решения выше
