1. Выделите полный квадрат в многочлене 1) x²-4x+3; 4) x²+x-6; 2) a²+2a-24; 5) c²+8cd + 15d²; 3) y² + 12y + 35; 6) 9x²-30xy + 16y². 2. Сократите дробь при допустимых значениях переменных: a) 5a + 5b. a³+b³ 6) 9c-9d 5c5d в) 25p216q2. 125p3 - 64933 г) 49m²-16n² 343m³ + 643; д) 1000x³- 27y³ 100x² + 30xy+9y2 e) z4 + 12z2t + 36t2 26 + 216t3 3 Натуральное число при делении на 5 даст в остат- ке 4. Докажите, что сумма куба этого числа и его квадрата делится на 5. 4 Докажите, что сумма единицы с квадратами трех по- следовательных чисел делится на 3. 5. Найдите значение выражения, выполнив соответст- вующие преобразования: 1) (2-1)(2+1)(2²+1) (24+1)(28+1)-216; 2) (2+1)(22+1) (24+1) (28+1)(216+1)-232.

Задание 1. Выделение полного квадрата

1) x² - 4x + 3

Давай выделим полный квадрат. Для этого нам нужно преобразовать выражение так, чтобы выделить квадрат разности или суммы. Итак, \[ x^2 - 4x + 3 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 = (x - 2)^2 - 1 \]

Ответ: (x - 2)² - 1

2) a² + 2a - 24

Аналогично, выделим полный квадрат: \[ a^2 + 2a - 24 = (a^2 + 2a + 1) - 1 - 24 = (a + 1)^2 - 25 \]

Ответ: (a + 1)² - 25

3) y² + 12y + 35

Снова выделяем полный квадрат: \[ y^2 + 12y + 35 = (y^2 + 12y + 36) - 36 + 35 = (y + 6)^2 - 1 \]

Ответ: (y + 6)² - 1

4) x² + x - 6

Выделим полный квадрат: \[ x^2 + x - 6 = (x^2 + x + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} - 6 = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{25}{4} \]

Ответ: (x + 1/2)² - 25/4

5) c² + 8cd + 15d²

Здесь нужно немного преобразовать: \[ c^2 + 8cd + 15d^2 = (c^2 + 8cd + 16d^2) - d^2 = (c + 4d)^2 - d^2 \]

Ответ: (c + 4d)² - d²

6) 9x² - 30xy + 16y²

Преобразуем это выражение: \[ 9x^2 - 30xy + 16y^2 = (9x^2 - 30xy + 25y^2) - 25y^2 + 16y^2 = (3x - 5y)^2 - 9y^2 \]

Ответ: (3x - 5y)² - 9y²

Задание 2. Сокращение дробей

а) (5a + 5b) / (a³ + b³)

Давай упростим эту дробь. Сначала разложим знаменатель: \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \] Теперь упростим дробь: \[ \frac{5a + 5b}{a^3 + b^3} = \frac{5(a + b)}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)} = \frac{5}{a^2 - ab + b^2} \]

Ответ: 5 / (a² - ab + b²)

б) (9c³ - 9d³) / (5c - 5d)

Сначала упростим числитель и знаменатель: \[ \frac{9c^3 - 9d^3}{5c - 5d} = \frac{9(c^3 - d^3)}{5(c - d)} \] Теперь разложим числитель: \[ c^3 - d^3 = (c - d)(c^2 + cd + d^2) \] Упростим дробь: \[ \frac{9(c - d)(c^2 + cd + d^2)}{5(c - d)} = \frac{9(c^2 + cd + d^2)}{5} \]

Ответ: 9(c² + cd + d²) / 5

в) (25p² - 16q²) / (125p³ - 64q³)

Разложим числитель и знаменатель: \[ 25p^2 - 16q^2 = (5p - 4q)(5p + 4q) \] \[ 125p^3 - 64q^3 = (5p - 4q)(25p^2 + 20pq + 16q^2) \] Упростим дробь: \[ \frac{(5p - 4q)(5p + 4q)}{(5p - 4q)(25p^2 + 20pq + 16q^2)} = \frac{5p + 4q}{25p^2 + 20pq + 16q^2} \]

Ответ: (5p + 4q) / (25p² + 20pq + 16q²)

г) (49m² - 16n²) / (343m³ + 64n³)

Разложим числитель и знаменатель: \[ 49m^2 - 16n^2 = (7m - 4n)(7m + 4n) \] \[ 343m^3 + 64n^3 = (7m + 4n)(49m^2 - 28mn + 16n^2) \] Упростим дробь: \[ \frac{(7m - 4n)(7m + 4n)}{(7m + 4n)(49m^2 - 28mn + 16n^2)} = \frac{7m - 4n}{49m^2 - 28mn + 16n^2} \]

Ответ: (7m - 4n) / (49m² - 28mn + 16n²)

д) (1000x³ - 27y³) / (100x² + 30xy + 9y²)

Разложим числитель: \[ 1000x^3 - 27y^3 = (10x - 3y)(100x^2 + 30xy + 9y^2) \] Упростим дробь: \[ \frac{(10x - 3y)(100x^2 + 30xy + 9y^2)}{100x^2 + 30xy + 9y^2} = 10x - 3y \]

Ответ: 10x - 3y

е) (z⁴ + 12z²t + 36t²) / (z⁶ + 216t³)

Разложим числитель и знаменатель: \[ z^4 + 12z^2t + 36t^2 = (z^2 + 6t)^2 \] \[ z^6 + 216t^3 = (z^2)^3 + (6t)^3 = (z^2 + 6t)(z^4 - 6tz^2 + 36t^2) \] Упростим дробь: \[ \frac{(z^2 + 6t)^2}{(z^2 + 6t)(z^4 - 6tz^2 + 36t^2)} = \frac{z^2 + 6t}{z^4 - 6tz^2 + 36t^2} \]

Ответ: (z² + 6t) / (z⁴ - 6tz² + 36t²)

Задание 3

Пусть натуральное число равно 5k + 4, где k - целое число. Тогда сумма куба этого числа и его квадрата равна: \[ (5k + 4)^3 + (5k + 4)^2 = (5k + 4)^2 [(5k + 4) + 1] = (5k + 4)^2 (5k + 5) = 5(5k + 4)^2 (k + 1) \] Поскольку полученное выражение делится на 5, то и сумма куба числа и его квадрата делится на 5.

Ответ: Доказано

Задание 4

Пусть три последовательных числа: n-1, n, n+1. Тогда сумма единицы и квадратов этих чисел равна: \[ 1 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = 1 + (n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) = 3n^2 + 3 = 3(n^2 + 1) \] Поскольку полученное выражение делится на 3, то и сумма единицы и квадратов трех последовательных чисел делится на 3.

Ответ: Доказано

Задание 5. Вычисление выражений

1) (2-1)(2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1) - 2¹⁶

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов: \[ (2-1)(2+1) = 2^2 - 1 \] \[ (2^2 - 1)(2^2 + 1) = 2^4 - 1 \] \[ (2^4 - 1)(2^4 + 1) = 2^8 - 1 \] \[ (2^8 - 1)(2^8 + 1) = 2^{16} - 1 \] Таким образом: \[ 2^{16} - 1 - 2^{16} = -1 \]

Ответ: -1

2) (2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1) - 2³²

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов. Домножим выражение на (2-1) = 1, чтобы получить разность квадратов: \[ (2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1) - 2^{32} \] \[ (2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) - 2^{32} \] \[ (2^4 - 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) - 2^{32} \] \[ (2^8 - 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) - 2^{32} \] \[ (2^{16} - 1)(2^{16} + 1) - 2^{32} \] \[ (2^{32} - 1) - 2^{32} = -1 \]

Ответ: -1