Вынесение множителя из-под знака корня

Рассмотрим каждый случай:

1. $$ \sqrt{11a^2} $$ при $$ a \leq 0 $$

   Так как $$ a \leq 0 $$, то $$ \sqrt{a^2} = |a| = -a $$

   $$ \sqrt{11a^2} = \sqrt{11} \cdot \sqrt{a^2} = \sqrt{11} \cdot |a| = -a\sqrt{11} $$

   Ответ: $$\sqrt{11a^2} = -a\sqrt{11}$$

2. $$ \sqrt{18a^8} $$

   $$ \sqrt{18a^8} = \sqrt{9 \cdot 2 \cdot (a^4)^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{(a^4)^2} = 3\sqrt{2}a^4 $$

   Ответ: $$ \sqrt{18a^8} = 3a^4\sqrt{2} $$

3. $$ \sqrt{-a^7} $$

   $$ \sqrt{-a^7} = \sqrt{-a \cdot a^6} = \sqrt{-a \cdot (a^3)^2} = |a^3|\sqrt{-a} = |a^3| \sqrt{-a} $$

   Предполагается, что $$ a < 0 $$, чтобы выражение имело смысл.

   Так как $$ a < 0 $$, то $$ a^3 < 0 $$, поэтому $$ |a^3| = -a^3 $$.

   $$ \sqrt{-a^7} = -a^3\sqrt{-a} $$

   Ответ: $$ \sqrt{-a^7} = -a^3\sqrt{-a} $$

4. $$ \sqrt{-a^{10}b^5} $$, если $$ a > 0 $$

   Чтобы выражение имело смысл, нужно, чтобы $$ -a^{10}b^5 \geq 0 $$. Так как $$ a^{10} \geq 0 $$ всегда, то нужно, чтобы $$ b^5 \leq 0 $$, то есть $$ b \leq 0 $$.

   $$ \sqrt{-a^{10}b^5} = \sqrt{a^{10} \cdot (-b^5)} = \sqrt{(a^5)^2 \cdot (-b^4 \cdot b)} = |a^5| \cdot \sqrt{(-b^4 \cdot b)} = a^5 \cdot \sqrt{-b^4 \cdot b} = a^5b^2\sqrt{-b} $$

   $$ \sqrt{-a^{10}b^5} = a^5b^2\sqrt{-b} $$

   Ответ: $$ \sqrt{-a^{10}b^5} = a^5b^2\sqrt{-b} $$