Ответ:

  1. оживлённо беседуют — примыкание: зависимое наречие связано с главным словом по смыслу.
  2. нашего письма — согласование: зависимое местоимение согласуется с существительным в роде, числе и падеже.
  3. вступили в беседу — управление: главное слово требует от зависимого существительного формы с предлогом «в».
  4. «один говорит» — грамматическая основа, а не подчинительное словосочетание.