Выполни умножение: \( \sqrt[14]{x^7 y^3} \cdot \sqrt[7]{x^4 y^7} \)

Решение:

Для умножения корней с разными показателями и степенями, приведём их к общему показателю степени. Наименьший общий знаменатель для \( 14 \) и \( 7 \) равен \( 14 \).

1. Первый корень остаётся без изменений: \( \sqrt[14]{x^7 y^3} \).
2. Второй корень преобразуем: \( \sqrt[7]{x^4 y^7} = \sqrt[7 \cdot 2]{(x^4 y^7)^2} = \sqrt[14]{x^8 y^{14}} \).
3. Теперь умножим корни с одинаковым показателем: \( \sqrt[14]{x^7 y^3} \cdot \sqrt[14]{x^8 y^{14}} = \sqrt[14]{x^7 y^3 \cdot x^8 y^{14}} \).
4. Упростим выражение под корнем, сложив степени с одинаковыми основаниями: \( \sqrt[14]{x^{7+8} y^{3+14}} = \sqrt[14]{x^{15} y^{17}} \).
5. Выделим полные степени из-под корня 14-й степени: \( x^{15} = x^{14} · x^1 \) и \( y^{17} = y^{14} · y^3 \).
6. Таким образом, получаем: \( \sqrt[14]{x^{14} · x \cdot y^{14} · y^3} = \sqrt[14]{x^{14}} · \sqrt[14]{y^{14}} · \sqrt[14]{x y^3} = x · y · \sqrt[14]{x y^3} \).

Ответ: \( xy \sqrt[14]{xy^3} \).