Выполнить задания: 1.Решить уравнения: log4(2x + 5) = 2 log1/3 (2x²-4) = log1/3 (3-5x) lg2x3lgx + 2 = 0 log3(x2) + log3(x + 2) = log35

1. Решить уравнения:

1. Уравнение 1: \[ \log_4(2x + 5) = 2 \]

   Краткое пояснение: Используем определение логарифма для преобразования уравнения.

   Шаг 1: Преобразуем уравнение, используя определение логарифма: \[ 2x + 5 = 4^2 \]

   Шаг 2: Упрощаем: \[ 2x + 5 = 16 \]

   Шаг 3: Решаем относительно x: \[ 2x = 16 - 5 \]

   Шаг 4: \[ 2x = 11 \]

   Шаг 5: \[ x = \frac{11}{2} \]

   Шаг 6: \[ x = 5.5 \]

   Ответ: \[ x = 5.5 \]

2. Уравнение 2: \[ \lg^2 x - 3 \cdot \lg x + 2 = 0 \]

   Краткое пояснение: Заменяем \(\lg x\) на новую переменную, чтобы получить квадратное уравнение.

   Шаг 1: Пусть \(y = \lg x\), тогда уравнение принимает вид: \[ y^2 - 3y + 2 = 0 \]

   Шаг 2: Решаем квадратное уравнение: \[ (y - 1)(y - 2) = 0 \]

   Шаг 3: Находим корни: \[ y_1 = 1, \quad y_2 = 2 \]

   Шаг 4: Возвращаемся к исходной переменной: \[ \lg x = 1 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 10^1 = 10 \]

   Шаг 5: \[ \lg x = 2 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 10^2 = 100 \]

   Ответ: \[ x_1 = 10, \quad x_2 = 100 \]

3. Уравнение 3: \[ \log_{\frac{1}{3}}(2x^2 - 4) = \log_{\frac{1}{3}}(3 - 5x) \]

   Краткое пояснение: Так как логарифмы с одинаковым основанием, приравниваем аргументы.

   Шаг 1: Приравниваем аргументы: \[ 2x^2 - 4 = 3 - 5x \]

   Шаг 2: Приводим к квадратному уравнению: \[ 2x^2 + 5x - 7 = 0 \]

   Шаг 3: Решаем квадратное уравнение: \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7)}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 56}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{-5 \pm 9}{4} \]

   Шаг 4: Находим корни: \[ x_1 = \frac{-5 + 9}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]

   Шаг 5: \[ x_2 = \frac{-5 - 9}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5 \]

   Шаг 6: Проверяем корни на допустимость (аргументы логарифмов должны быть положительными):

   • Для \[ x_1 = 1 \]: \[ 2(1)^2 - 4 = -2 < 0 \] (не подходит)
   • Для \[ x_2 = -3.5 \]: \[ 2(-3.5)^2 - 4 = 20.5 > 0 \] и \[ 3 - 5(-3.5) = 20.5 > 0 \] (подходит)

   Ответ: \[ x = -3.5 \]

4. Уравнение 4: \[ \log_3(x - 2) + \log_3(x + 2) = \log_3 5 \]

   Краткое пояснение: Используем свойство логарифмов суммы для упрощения уравнения.

   Шаг 1: Применяем свойство логарифма суммы: \[ \log_3((x - 2)(x + 2)) = \log_3 5 \]

   Шаг 2: Приравниваем аргументы: \[ (x - 2)(x + 2) = 5 \]

   Шаг 3: Упрощаем: \[ x^2 - 4 = 5 \]

   Шаг 4: Решаем относительно x: \[ x^2 = 9 \]

   Шаг 5: \[ x = \pm 3 \]

   Шаг 6: Проверяем корни на допустимость (аргументы логарифмов должны быть положительными):

   • Для \[ x = 3 \]: \[ x - 2 = 1 > 0 \] и \[ x + 2 = 5 > 0 \] (подходит)
   • Для \[ x = -3 \]: \[ x - 2 = -5 < 0 \] (не подходит)

   Ответ: \[ x = 3 \]