1. Выполните деление: 1) \(\frac{4}{9}:\frac{7}{8}\); 2) \(\frac{6}{25}:\frac{12}{35}\); 3) \(\frac{8}{65}:\frac{4}{13}\); 4) \(\frac{48}{49}:\frac{32}{63}\) 2. Найдите частное: 1) \(10:\frac{5}{9}\); 2) \(1:\frac{8}{13}\); 3) \(\frac{9}{16}:36\). 3. Решите уравнение: 1) \(\frac{6}{7}x=\frac{2}{7}\); 3) \(\frac{5}{6}x=25\); 5) \(x:\frac{8}{25}=\frac{5}{32}\); 2) \(\frac{8}{11}x=1\); 4) \(6x=\frac{1}{4}\); 6) \(\frac{20}{63}:x=\frac{4}{7}\). 4. Найдите скорость автомобиля, если за \(\frac{7}{9}\) ч он проехал 49 км. 5. Через одну трубу бассейн можно заполнить водой за 12 ч, а через другую — за 24 ч. За сколько часов бассейн наполнится водой, если открыть одновременно обе трубы?

Решение:

1. Выполните деление: 1) \(\frac{4}{9}:\frac{7}{8} = \frac{4}{9} \cdot \frac{8}{7} = \frac{4 \cdot 8}{9 \cdot 7} = \frac{32}{63}\) 2) \(\frac{6}{25}:\frac{12}{35} = \frac{6}{25} \cdot \frac{35}{12} = \frac{6 \cdot 35}{25 \cdot 12} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 7}{5 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 2} = \frac{7}{5 \cdot 2} = \frac{7}{10}\) 3) \(\frac{8}{65}:\frac{4}{13} = \frac{8}{65} \cdot \frac{13}{4} = \frac{8 \cdot 13}{65 \cdot 4} = \frac{2 \cdot 4 \cdot 13}{5 \cdot 13 \cdot 4} = \frac{2}{5}\) 4) \(\frac{48}{49}:\frac{32}{63} = \frac{48}{49} \cdot \frac{63}{32} = \frac{48 \cdot 63}{49 \cdot 32} = \frac{16 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 9}{7 \cdot 7 \cdot 16 \cdot 2} = \frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 2} = \frac{27}{14}\) 2. Найдите частное: 1) \(10:\frac{5}{9} = 10 \cdot \frac{9}{5} = \frac{10 \cdot 9}{5} = \frac{2 \cdot 5 \cdot 9}{5} = 2 \cdot 9 = 18\) 2) \(1:\frac{8}{13} = 1 \cdot \frac{13}{8} = \frac{13}{8}\) 3) \(\frac{9}{16}:36 = \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{36} = \frac{9}{16 \cdot 36} = \frac{9}{16 \cdot 4 \cdot 9} = \frac{1}{16 \cdot 4} = \frac{1}{64}\) 3. Решите уравнение: 1) \(\frac{6}{7}x=\frac{2}{7}\) \(\Rightarrow x = \frac{2}{7} : \frac{6}{7} = \frac{2}{7} \cdot \frac{7}{6} = \frac{2 \cdot 7}{7 \cdot 6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) 2) \(\frac{8}{11}x=1\) \(\Rightarrow x = 1 : \frac{8}{11} = 1 \cdot \frac{11}{8} = \frac{11}{8}\) 3) \(\frac{5}{6}x=25\) \(\Rightarrow x = 25 : \frac{5}{6} = 25 \cdot \frac{6}{5} = \frac{25 \cdot 6}{5} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 6}{5} = 5 \cdot 6 = 30\) 4) \(6x=\frac{1}{4}\) \(\Rightarrow x = \frac{1}{4} : 6 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{24}\) 5) \(x:\frac{8}{25}=\frac{5}{32}\) \(\Rightarrow x = \frac{5}{32} \cdot \frac{8}{25} = \frac{5 \cdot 8}{32 \cdot 25} = \frac{5 \cdot 8}{4 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{20}\) 6) \(\frac{20}{63}:x=\frac{4}{7}\) \(\Rightarrow x = \frac{20}{63} : \frac{4}{7} = \frac{20}{63} \cdot \frac{7}{4} = \frac{20 \cdot 7}{63 \cdot 4} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 7}{9 \cdot 7 \cdot 4} = \frac{5}{9}\) 4. Найдите скорость автомобиля, если за \(\frac{7}{9}\) ч он проехал 49 км. \(v = \frac{s}{t} = 49 : \frac{7}{9} = 49 \cdot \frac{9}{7} = \frac{49 \cdot 9}{7} = \frac{7 \cdot 7 \cdot 9}{7} = 7 \cdot 9 = 63\) км/ч 5. Через одну трубу бассейн можно заполнить водой за 12 ч, а через другую — за 24 ч. За сколько часов бассейн наполнится водой, если открыть одновременно обе трубы? Пусть V - объем бассейна. Тогда первая труба заполняет \(\frac{V}{12}\) в час, а вторая труба заполняет \(\frac{V}{24}\) в час. Вместе они заполняют \(\frac{V}{12} + \frac{V}{24} = \frac{2V + V}{24} = \frac{3V}{24} = \frac{V}{8}\) в час. Тогда время заполнения бассейна при одновременной работе двух труб: \(t = \frac{V}{\frac{V}{8}} = V \cdot \frac{8}{V} = 8\) часов.

Ответ: 1. 1) \(\frac{32}{63}\); 2) \(\frac{7}{10}\); 3) \(\frac{2}{5}\); 4) \(\frac{27}{14}\). 2. 1) 18; 2) \(\frac{13}{8}\); 3) \(\frac{1}{64}\). 3. 1) \(\frac{1}{3}\); 2) \(\frac{11}{8}\); 3) 30; 4) \(\frac{1}{24}\); 5) \(\frac{1}{20}\); 6) \(\frac{5}{9}\). 4. 63 км/ч. 5. 8 часов.