81. Выполните деление многочлена на многочлен: a) (a³ − 4a² − 16a + 15): (a + 3); б) (6x³ + 13x² − 9x − 31x − 14): (3x + 2); B) (y³ − 21y − 20) : (y + 4); г) (86⁴ − 226³ + b² + 166 − 15): (26 − 5). 82. Выделите целую часть из дроби и выясните, при каких натуральных дробь принимает натуральные значения: a) 7n² + 3n+12; n 2n²-8n+5. б) n B) (n-7)²; n-4 г) (2n-3)³; n³ д) n²-8n+17. n-4 e) n³-6n²+12n +3 (n-2)² 83. Зная, что ME Z. найдите целые значения дроби: a) m²-10m+27. + б) (m-6)²; B) (3m-4)³ m-5 m-3 m³ 84. Найдите значение дроби (х – 2y)² y² если: a) = 3; y б) = 1; y B) 2x-3y =7. y 85. Докажите, что при любом х, отличном от нуля, значение дроби является дробным числом. 86. Укажите все точки графика функции у= x² - 4x + 6 х-2, координаты которы 87. Запишите уравнения всех прямых, не имеющих общих точек с графикс функции f(x) = a) (2; 3); 2x²-x-1 x-1 б) (2; 4); в) (0; 1). и проходящих через точку с координатами: 88. Докажите, что графики функций у = -2x + 6 и у= имеют общих точек. (x-3)4 x³-9x² + 27x - 27

Здравствуйте, ученик! Давайте разберем эти математические задачи вместе. Уверен, у нас все получится! 81. Выполните деление многочлена на многочлен: а) \((a^3 - 4a^2 - 16a + 15) : (a + 3)\) Выполним деление столбиком: a² - 7a + 5 a + 3 | a³ - 4a² - 16a + 15 - (a³ + 3a²) ------------------ -7a² - 16a - (-7a² - 21a) ------------------ 5a + 15 - (5a + 15) ------------------ 0 Ответ: \(a^2 - 7a + 5\) б) \((6x^3 + 13x^2 - 9x - 31x - 14) : (3x + 2)\) (похоже, что -31x это -31, вероятно опечатка) Предположим, что условие \((6x^3 + 13x^2 - 9x - 31x - 14) : (3x + 2)\) на самом деле \((6x^3 + 13x^2 - 9x - 14) : (3x + 2)\). Выполним деление столбиком: 2x² + 3x - 5 3x + 2 | 6x³ + 13x² - 9x - 14 - (6x³ + 4x²) ------------------ 9x² - 9x - (9x² + 6x) ------------------ -15x - 14 - (-15x - 10) ------------------ -4 Ответ: \(2x^2 + 3x - 5 - \frac{4}{3x + 2}\) в) \((y^3 - 21y - 20) : (y + 4)\) Выполним деление столбиком: y² - 4y - 5 y + 4 | y³ + 0y² - 21y - 20 - (y³ + 4y²) ------------------ -4y² - 21y - (-4y² - 16y) ------------------ -5y - 20 - (-5y - 20) ------------------ 0 Ответ: \(y^2 - 4y - 5\) г) \((8b^4 - 22b^3 + b^2 + 16b - 15) : (2b - 5)\) Выполним деление столбиком: 4b³ - b² - 2b + 3 2b - 5 | 8b⁴ - 22b³ + b² + 16b - 15 - (8b⁴ - 20b³) ------------------ -2b³ + b² - (-2b³ + 5b²) ------------------ -4b² + 16b - (-4b² + 10b) ------------------ 6b - 15 - (6b - 15) ------------------ 0 Ответ: \(4b^3 - b^2 - 2b + 3\) 82. Выделите целую часть из дроби и выясните, при каких натуральных n дробь принимает натуральные значения: а) \(\frac{7n^2 + 3n + 12}{n}\) = \(7n + 3 + \frac{12}{n}\) Чтобы дробь была натуральным числом, необходимо, чтобы \(\frac{12}{n}\) было натуральным числом. Это возможно, если n является делителем числа 12. Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ответ: \(7n + 3 + \frac{12}{n}\); n = 1, 2, 3, 4, 6, 12 б) \(\frac{2n^2 - 8n + 5}{n}\) = \(2n - 8 + \frac{5}{n}\) Чтобы дробь была натуральным числом, необходимо, чтобы \(\frac{5}{n}\) было натуральным числом. Это возможно, если n является делителем числа 5. Делители 5: 1, 5. Ответ: \(2n - 8 + \frac{5}{n}\); n = 1, 5 в) \(\frac{(n - 7)^2}{n - 4}\) = \(\frac{n^2 - 14n + 49}{n - 4}\) Выполним деление столбиком: n - 10 + 9/(n-4) n - 4 | n² - 14n + 49 - (n² - 4n) ------------- -10n + 49 - (-10n + 40) ------------- 9 \(n - 10 + \frac{9}{n - 4}\) Чтобы выражение было натуральным числом, \(\frac{9}{n - 4}\) должно быть натуральным числом. Следовательно, \(n - 4\) должно быть делителем 9. Делители 9: 1, 3, 9. Тогда \(n - 4 = 1, 3, 9\), откуда \(n = 5, 7, 13\). Ответ: \(n - 10 + \frac{9}{n - 4}\); n = 5, 7, 13 г) \(\frac{(2n - 3)^3}{n^3}\) = \(\frac{8n^3 - 36n^2 + 54n - 27}{n^3}\) = \(8 - \frac{36}{n} + \frac{54}{n^2} - \frac{27}{n^3}\) Чтобы дробь принимала натуральные значения, необходимо чтобы \(\frac{36}{n}\), \(\frac{54}{n^2}\), \(\frac{27}{n^3}\) были целыми. Значит n должно быть делителем 36, 54, 27. Общие делители: 1, 3. Для n = 1: 8 - 36 + 54 - 27 = -1 Для n = 3: 8 - 12 + 6 - 1 = 1 Ответ: \(8 - \frac{36}{n} + \frac{54}{n^2} - \frac{27}{n^3}\); n = 3 д) \(\frac{n^2 - 8n + 17}{n - 4}\) = \(\frac{n^2 - 8n + 16 + 1}{n - 4}\) = \(\frac{(n - 4)^2 + 1}{n - 4}\) = \(n - 4 + \frac{1}{n - 4}\) Чтобы выражение было натуральным числом, \(\frac{1}{n - 4}\) должно быть натуральным числом. Следовательно, \(n - 4 = 1\), откуда \(n = 5\). Ответ: \(n - 4 + \frac{1}{n - 4}\); n = 5 е) \(\frac{n^3 - 6n^2 + 12n + 3}{(n - 2)^2}\) = \(\frac{n^3 - 6n^2 + 12n + 3}{n^2 - 4n + 4}\) Выполним деление столбиком: n - 2 + (3+4n-4)/(n^2-4n+4) n^2-4n+4 | n³ - 6n² + 12n + 3 -(n³ - 4n² + 4n) ------------------ -2n² + 8n + 3 -(-2n² + 8n - 8) ------------------ 11 \(n - 2 + \frac{11}{(n - 2)^2}\) Чтобы выражение было натуральным числом, \(\frac{11}{(n - 2)^2}\) должно быть натуральным числом. Следовательно, \((n - 2)^2\) должно быть делителем 11. Делители 11: 1, 11. Тогда \((n - 2)^2 = 1\), откуда \(n - 2 = \pm 1\), то есть \(n = 1, 3\). При \((n - 2)^2 = 11\) - решений в целых числах нет. Подставим значения n = 1, 3 в исходное выражение: n = 1: \(\frac{1 - 6 + 12 + 3}{(1 - 2)^2} = \frac{10}{1} = 10\) n = 3: \(\frac{27 - 54 + 36 + 3}{(3 - 2)^2} = \frac{12}{1} = 12\) Ответ: \(n - 2 + \frac{11}{(n - 2)^2}\); n = 1, 3 83. Зная, что \(m \in Z\), найдите целые значения дроби: а) \(\frac{m^2 - 10m + 27}{m - 5}\) = \(\frac{m^2 - 10m + 25 + 2}{m - 5}\) = \(\frac{(m - 5)^2 + 2}{m - 5}\) = \(m - 5 + \frac{2}{m - 5}\) Чтобы выражение было целым числом, \(\frac{2}{m - 5}\) должно быть целым числом. Следовательно, \(m - 5\) должно быть делителем 2. Делители 2: -2, -1, 1, 2. Тогда \(m - 5 = -2, -1, 1, 2\), откуда \(m = 3, 4, 6, 7\). Ответ: \(m - 5 + \frac{2}{m - 5}\); m = 3, 4, 6, 7 б) \(\frac{(m - 6)^2}{m - 3}\) = \(\frac{m^2 - 12m + 36}{m - 3}\) Выполним деление столбиком: m - 9 + 9/(m-3) m - 3 | m² - 12m + 36 - (m² - 3m) ------------- -9m + 36 - (-9m + 27) ------------- 9 \(m - 9 + \frac{9}{m - 3}\) Чтобы выражение было целым числом, \(\frac{9}{m - 3}\) должно быть целым числом. Следовательно, \(m - 3\) должно быть делителем 9. Делители 9: -9, -3, -1, 1, 3, 9. Тогда \(m - 3 = -9, -3, -1, 1, 3, 9\), откуда \(m = -6, 0, 2, 4, 6, 12\). Ответ: \(m - 9 + \frac{9}{m - 3}\); m = -6, 0, 2, 4, 6, 12 в) \(\frac{(3m - 4)^3}{m^3}\) = \(\frac{27m^3 - 108m^2 + 144m - 64}{m^3}\) = \(27 - \frac{108}{m} + \frac{144}{m^2} - \frac{64}{m^3}\) Для того чтобы это выражение было целым, \(\frac{108}{m}\), \(\frac{144}{m^2}\), \(\frac{64}{m^3}\) должны быть целыми. Значит m должно быть делителем 108, 144 и 64. Общие делители: 1, 2, 4. Для m = 1: 27 - 108 + 144 - 64 = -1 Для m = 2: 27 - 54 + 36 - 8 = 1 Для m = 4: 27 - 27 + 9 - 1 = 8 Ответ: \(27 - \frac{108}{m} + \frac{144}{m^2} - \frac{64}{m^3}\); m = 2, 4 84. Найдите значение дроби \(\frac{(x - 2y)^2}{y^2}\), если: а) \(\frac{x}{y} = 3\) \(\frac{(x - 2y)^2}{y^2} = (\frac{x}{y} - 2)^2\) = \((3 - 2)^2 = 1^2 = 1\) Ответ: 1 б) \(\frac{x}{y} = 1\) \(\frac{(x - 2y)^2}{y^2} = (\frac{x}{y} - 2)^2\) = \((1 - 2)^2 = (-1)^2 = 1\) Ответ: 1 в) \(2x - 3y = 7\) \(2x = 3y + 7\) \(x = \frac{3y + 7}{2}\) \(\frac{(x - 2y)^2}{y^2} = (\frac{x}{y} - 2)^2 = (\frac{\frac{3y + 7}{2}}{y} - 2)^2 = (\frac{3y + 7}{2y} - 2)^2 = (\frac{3y + 7 - 4y}{2y})^2 = (\frac{7 - y}{2y})^2 = \frac{(7 - y)^2}{4y^2}\) Если у = 1, то \(\frac{(7 - 1)^2}{4 \cdot 1^2} = \frac{36}{4} = 9\) Выражение зависит от y, поэтому ответ в общем виде \(\frac{(7 - y)^2}{4y^2}\). Ответ: \(\frac{(7 - y)^2}{4y^2}\) 85. Докажите, что при любом х, отличном от нуля, значение дроби является дробным числом. К сожалению, в условии не предоставлена дробь, значение которой требуется проанализировать. Если вы предоставите выражение, я смогу вам помочь! 86. Укажите все точки графика функции \(y = \frac{x^2 - 4x + 6}{x - 2}\), которые являются целыми числами. \(y = \frac{x^2 - 4x + 6}{x - 2} = \frac{x^2 - 4x + 4 + 2}{x - 2} = \frac{(x - 2)^2 + 2}{x - 2} = x - 2 + \frac{2}{x - 2}\) Чтобы y был целым числом, необходимо, чтобы \(\frac{2}{x - 2}\) было целым числом. Следовательно, \(x - 2\) должно быть делителем 2. Делители 2: -2, -1, 1, 2. Тогда \(x - 2 = -2, -1, 1, 2\), откуда \(x = 0, 1, 3, 4\). Если x = 0, то y = 0 - 2 + \(\frac{2}{0 - 2}\) = -2 - 1 = -3 Если x = 1, то y = 1 - 2 + \(\frac{2}{1 - 2}\) = -1 - 2 = -3 Если x = 3, то y = 3 - 2 + \(\frac{2}{3 - 2}\) = 1 + 2 = 3 Если x = 4, то y = 4 - 2 + \(\frac{2}{4 - 2}\) = 2 + 1 = 3 Целые точки: (0, -3), (1, -3), (3, 3), (4, 3). Ответ: (0, -3), (1, -3), (3, 3), (4, 3) 87. Запишите уравнения всех прямых, не имеющих общих точек с графиком функции \(f(x) = \frac{2x^2 - x - 1}{x - 1}\) и проходящих через точку с координатами: а) (2; 3); \(f(x) = \frac{2x^2 - x - 1}{x - 1} = \frac{(2x + 1)(x - 1)}{x - 1}\) = 2x + 1 при \(x
eq 1\) График функции \(f(x)\) это прямая y = 2x + 1, из которой выколота точка (1; 3). Прямая, проходящая через (2; 3) имеет вид y - 3 = k(x - 2), где k - угловой коэффициент. y = kx - 2k + 3 Чтобы прямая не имела общих точек с графиком \(f(x)\), она должна быть параллельна ему и не совпадать с ним. То есть, угловой коэффициент должен быть равен 2, и прямая не должна проходить через точку (1; 3). Если k = 2, то y = 2x - 4 + 3 = 2x - 1. Эта прямая параллельна y = 2x + 1. Проверим, проходит ли она через точку (1; 3): 3 = 2(1) - 1 = 1. Не проходит. Таким образом, уравнение прямой, не имеющей общих точек с графиком функции и проходящей через точку (2; 3): y = 2x - 1. Ответ: y = 2x - 1 б) (2; 4); Используем тот же подход. Прямая, проходящая через (2; 4) имеет вид y - 4 = k(x - 2), где k - угловой коэффициент. y = kx - 2k + 4 Чтобы прямая не имела общих точек с графиком \(f(x)\), она должна быть параллельна ему и не совпадать с ним. То есть, угловой коэффициент должен быть равен 2, и прямая не должна проходить через точку (1; 3). Если k = 2, то y = 2x - 4 + 4 = 2x. Эта прямая параллельна y = 2x + 1. Проверим, проходит ли она через точку (1; 3): 3 = 2(1) = 2. Не проходит. Таким образом, уравнение прямой, не имеющей общих точек с графиком функции и проходящей через точку (2; 4): y = 2x. Ответ: y = 2x в) (0; 1). Прямая, проходящая через (0; 1) имеет вид y - 1 = k(x - 0), где k - угловой коэффициент. y = kx + 1 Чтобы прямая не имела общих точек с графиком \(f(x)\), она должна быть параллельна ему и не совпадать с ним. То есть, угловой коэффициент должен быть равен 2, и прямая не должна проходить через точку (1; 3). Если k = 2, то y = 2x + 1. Эта прямая совпадает с исходной, за исключением точки (1; 3), через которую она проходит! Возьмем прямую, которая проходит через (1; 3). k = \(\frac{y - 1}{x - 0} = \frac{3 - 1}{1 - 0} = 2\), и мы уже получили, что такая прямая не подходит. Выходит, что невозможно провести прямую через (0; 1), которая не имеет общих точек с графиком. Ответ: нет решения 88. Докажите, что графики функций \(y = -2x + 6\) и \(y = \frac{(x - 3)^4}{x^3 - 9x^2 + 27x - 27}\) имеют общих точек. Преобразуем вторую функцию: \(y = \frac{(x - 3)^4}{x^3 - 9x^2 + 27x - 27} = \frac{(x - 3)^4}{(x - 3)^3} = x - 3\) при \(x
eq 3\) Теперь приравняем обе функции: \(-2x + 6 = x - 3\) \(3x = 9\) \(x = 3\) Однако, x не может быть равен 3, так как в этом случае вторая функция не определена. Но если x = 3, то y = -2(3) + 6 = 0. То есть у прямой \(y = -2x + 6\) и графика функции \(y = x - 3\) (с выколотой точкой) могла быть общая точка (3; 0), но эта точка выколота. Таким образом, графики не имеют общих точек. Ответ: графики не имеют общих точек. Не волнуйтесь, если что-то не получилось сразу. Главное - продолжать учиться и практиковаться, и все обязательно получится! Удачи вам в дальнейшем изучении математики!