Выполните действия: 1) $\left(\frac{x}{y^2}-\frac1x\right):\left(\frac1y-\frac1x\right)$; 2) $\frac{a+8b}{2b}-\frac{3a^2}{b^2}\cdot\frac{b}{6a}$; 3) $\frac{7x}{x+2}-\frac{x-8}{3x+6}\cdot\frac{84}{x^2-8x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Выполните действия: 1) $\left(\frac{x}{y^2}-\frac1x\right):\left(\frac1y-\frac1x\right)$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

1. Преобразуем разность в первой скобке и знаменатель деления:

$\frac{x}{y^2}-\frac1x=\frac{x^2-y^2}{xy^2}=\frac{(x-y)(x+y)}{xy^2}$, а $\frac1y-\frac1x=\frac{x-y}{xy}$.

Деление заменяем умножением на обратную дробь и сокращаем:

$\frac{(x-y)(x+y)}{xy^2}\cdot\frac{xy}{x-y}=\frac{x+y}{y}$.

Ответ: $\frac{x+y}{y}$. Ограничения исходного выражения: $x\ne0$, $y\ne0$, $x\ne y$.

2. Сначала упростим произведение:

$\frac{3a^2}{b^2}\cdot\frac{b}{6a}=\frac{a}{2b}$.

Подставляем и приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{a+8b}{2b}-\frac{a}{2b}=\frac{8b}{2b}=4$.

Ответ: $4$. Ограничения исходного выражения: $a\ne0$, $b\ne0$.

3. Разложим знаменатели на множители: $3x+6=3(x+2)$, $x^2-8x=x(x-8)$. Тогда

$\frac{x-8}{3(x+2)}\cdot\frac{84}{x(x-8)}=\frac{28}{x(x+2)}$.

Вычитаем это из первой дроби:

$\frac{7x}{x+2}-\frac{28}{x(x+2)}=\frac{7x^2-28}{x(x+2)}=\frac{7(x^2-4)}{x(x+2)}$.

Сокращаем на $x+2$: $\frac{7(x-2)(x+2)}{x(x+2)}=\frac{7(x-2)}x$.

Ответ: $\frac{7(x-2)}x$. Ограничения исходного выражения: $x\ne-2$, $x\ne0$, $x\ne8$.

Выполните действия: 1) \(\left(\frac{x}{y^2}-\frac1x\right):\left(\frac1y-\frac1x\right)\); 2) \(\frac{a+8b}{2b}-\frac{3a^2}{b^2}\cdot\frac{b}{6a}\); 3) \(\frac{7x}{x+2}-\frac{x-8}{3x+6}\cdot\frac{84}{x^2-8x}\).