13. Выполните действия. 1) Решите уравнение 3-3sinx-2cos²x/2sinx-2 =0. 2) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [1; 4].

Решение:

1) Для начала решим уравнение:

\[\frac{3-3\sin x - 2\cos^2 x}{2\sin x - 2} = 0\] \[3 - 3\sin x - 2\cos^2 x = 0, \quad \sin x
eq 1\] \[3 - 3\sin x - 2(1 - \sin^2 x) = 0\] \[3 - 3\sin x - 2 + 2\sin^2 x = 0\] \[2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0\]

Пусть \( t = \sin x \), тогда уравнение примет вид:

\[2t^2 - 3t + 1 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1\] \[t_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = 1\] \[t_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}\]

Возвращаемся к замене:

1) \(\sin x = 1\), но \(\sin x
eq 1\) (из условия знаменателя), следовательно, корней нет.

2) \(\sin x = \frac{1}{2}\)

\[x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}\]

2) Теперь отберем корни, принадлежащие отрезку \([1; 4]\).

Приблизительные значения:

\[\pi \approx 3.14, \quad \frac{\pi}{6} \approx 0.52, \quad \frac{5\pi}{6} \approx 2.62\]

Рассмотрим первую серию корней:

\[x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\]

При \(k = 0\): \(x = \frac{\pi}{6} \approx 0.52\), что не входит в отрезок \([1; 4]\).

При \(k = 1\): \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi \approx 0.52 + 6.28 = 6.8\), что не входит в отрезок \([1; 4]\).

Рассмотрим вторую серию корней:

\[x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\]

При \(n = 0\): \(x = \frac{5\pi}{6} \approx 2.62\), что входит в отрезок \([1; 4]\).

При \(n = 1\): \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi \approx 2.62 + 6.28 = 8.9\), что не входит в отрезок \([1; 4]\).

Ответ: \(x = \frac{5\pi}{6}\)