3. Выполните письменно: Разложите на множители: 1) x³ + y³ 2) 27-у³ 3) 1 + b³ 4) 125a³-64b³ 5) 1 + 27y³ 6) 63n³ - 27 7) 1000m⁶ - 27n³ 8) m³ + 216

1) x³ + y³

Применим формулу суммы кубов: $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$. В данном случае, $$a = x$$ и $$b = y$$.

$$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$$.

Ответ: $$(x + y)(x^2 - xy + y^2)$$

2) 27 - y³

Представим 27 как $$3^3$$. Применим формулу разности кубов: $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$. В данном случае, $$a = 3$$ и $$b = y$$.

$$27 - y^3 = 3^3 - y^3 = (3 - y)(3^2 + 3y + y^2) = (3 - y)(9 + 3y + y^2)$$.

Ответ: $$(3 - y)(9 + 3y + y^2)$$

3) 1 + b³

Применим формулу суммы кубов: $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$. В данном случае, $$a = 1$$ и $$b = b$$.

$$1 + b^3 = (1 + b)(1^2 - 1 \\cdot b + b^2) = (1 + b)(1 - b + b^2)$$.

Ответ: $$(1 + b)(1 - b + b^2)$$

4) 125a³ - 64b³

Представим $$125a^3$$ как $$(5a)^3$$ и $$64b^3$$ как $$(4b)^3$$. Применим формулу разности кубов: $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$. В данном случае, $$a = 5a$$ и $$b = 4b$$.

$$125a^3 - 64b^3 = (5a)^3 - (4b)^3 = (5a - 4b)((5a)^2 + (5a)(4b) + (4b)^2) = (5a - 4b)(25a^2 + 20ab + 16b^2)$$.

Ответ: $$(5a - 4b)(25a^2 + 20ab + 16b^2)$$

5) 1 + 27y³

Представим $$27y^3$$ как $$(3y)^3$$. Применим формулу суммы кубов: $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$. В данном случае, $$a = 1$$ и $$b = 3y$$.

$$1 + 27y^3 = 1^3 + (3y)^3 = (1 + 3y)(1^2 - (1)(3y) + (3y)^2) = (1 + 3y)(1 - 3y + 9y^2)$$.

Ответ: $$(1 + 3y)(1 - 3y + 9y^2)$$

6) 63n³ - 27

Вынесем общий множитель 9 за скобки.

$$63n^3 - 27 = 9(7n^3 - 3)$$.

Выражение в скобках не является разностью кубов, поэтому дальнейшее разложение на множители невозможно в рамках школьной программы.

Ответ: $$9(7n^3 - 3)$$

7) 1000m⁶ - 27n³

Представим $$1000m^6$$ как $$(10m^2)^3$$ и $$27n^3$$ как $$(3n)^3$$. Применим формулу разности кубов: $$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$. В данном случае, $$a = 10m^2$$ и $$b = 3n$$.

$$1000m^6 - 27n^3 = (10m^2)^3 - (3n)^3 = (10m^2 - 3n)((10m^2)^2 + (10m^2)(3n) + (3n)^2) = (10m^2 - 3n)(100m^4 + 30m^2n + 9n^2)$$.

Ответ: $$(10m^2 - 3n)(100m^4 + 30m^2n + 9n^2)$$

8) m³ + 216

Представим 216 как $$6^3$$. Применим формулу суммы кубов: $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$. В данном случае, $$a = m$$ и $$b = 6$$.

$$m^3 + 216 = m^3 + 6^3 = (m + 6)(m^2 - 6m + 6^2) = (m + 6)(m^2 - 6m + 36)$$.

Ответ: $$(m + 6)(m^2 - 6m + 36)$$