1. Выполните практическую работу: 1) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=х², х=0, x=4, y=0. 2) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=√x, y = 0,5x. №2 Вычислить площадь:

1) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями $$y=x^2$$, $$x=0$$, $$x=4$$, $$y=0$$.

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y = f(x)$$, осью абсцисс и прямыми $$x = a$$ и $$x = b$$, вычисляется по формуле:

$$S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$$

В данном случае, $$f(x) = x^2$$, $$a = 0$$, $$b = 4$$. Так как $$x^2 \ge 0$$ на отрезке от 0 до 4, то $$|x^2| = x^2$$. Следовательно,

$$S = \int_{0}^{4} x^2 dx$$

Находим первообразную функции $$x^2$$.

$$F(x) = \frac{x^3}{3}$$

Вычисляем определённый интеграл:

$$S = F(4) - F(0) = \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{64}{3} - 0 = \frac{64}{3}$$

$$S = \frac{64}{3} = 21\frac{1}{3}$$

2) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями $$y = \sqrt{x}$$, $$y = 0.5x$$.

Сначала найдем точки пересечения графиков функций $$y = \sqrt{x}$$ и $$y = 0.5x$$. Для этого приравняем функции:

$$\sqrt{x} = 0.5x$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$x = 0.25x^2$$ $$0.25x^2 - x = 0$$ $$x(0.25x - 1) = 0$$

Значит, либо $$x = 0$$, либо $$0.25x - 1 = 0$$, откуда $$x = 4$$.

Таким образом, точки пересечения: $$x = 0$$ и $$x = 4$$.

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций $$y = f(x)$$ и $$y = g(x)$$ на отрезке от $$a$$ до $$b$$, вычисляется по формуле:

$$S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx$$

В данном случае, $$f(x) = \sqrt{x}$$, $$g(x) = 0.5x$$, $$a = 0$$, $$b = 4$$. На отрезке от 0 до 4 функция $$\sqrt{x}$$ больше функции $$0.5x$$, следовательно, $$|\sqrt{x} - 0.5x| = \sqrt{x} - 0.5x$$. Тогда,

$$S = \int_{0}^{4} (\sqrt{x} - 0.5x) dx$$

Находим первообразные функций $$\sqrt{x}$$ и $$0.5x$$:

$$F_1(x) = \frac{2}{3}x^{3/2}, \quad F_2(x) = \frac{0.5x^2}{2} = 0.25x^2$$

Вычисляем определённый интеграл:

$$S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - 0.25x^2 \right]_{0}^{4}$$ $$S = \left( \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 0.25(4)^2 \right) - \left( \frac{2}{3}(0)^{3/2} - 0.25(0)^2 \right)$$ $$S = \frac{2}{3} \cdot 8 - 0.25 \cdot 16 = \frac{16}{3} - 4 = \frac{16 - 12}{3} = \frac{4}{3}$$ $$S = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$$

Ответ: 1) $$\frac{64}{3}$$; 2) $$\frac{4}{3}$$