1. Выполните умножение. a) (a-5) (a - 3); 6) (5x + 4) (2x – 1); 2. Разложите на множители. a) x (x - y) + a (x - y); б) 2а - 2b + ca - cb. 3. Упростите выражение: 0,5x (4x² - 1) (5x² + 2). Вариант 2 в) (3р + 2с) (2p + 4c); г) (b − 2) (b² + 2b – 3). 4. Представьте многочлен в виде произведения. a) 2a - ac - 2c + c²; 6) bx + by - x - у - ах – ау. 5. Бассейн имеет прямоугольную форму. Одна из его сторон на 6 м больше другой. Он окружен дорожкой, ширина которой 0,5 м. Найдите стороны бассейна, если площадь окружающей его дорожки 15 м².

Здравствуйте, ученик! Сейчас мы вместе решим эти задания. Будь уверен в себе, у тебя все получится!

1. Выполните умножение.

а) \((a-5)(a-3)\) Раскроем скобки, умножая каждый член первой скобки на каждый член второй: \[a \cdot a - 3 \cdot a - 5 \cdot a + 15 = a^2 - 3a - 5a + 15 = a^2 - 8a + 15\] Таким образом, \((a-5)(a-3) = a^2 - 8a + 15\). б) \((5x + 4)(2x - 1)\) Раскроем скобки аналогично: \[5x \cdot 2x - 5x \cdot 1 + 4 \cdot 2x - 4 \cdot 1 = 10x^2 - 5x + 8x - 4 = 10x^2 + 3x - 4\] Следовательно, \((5x + 4)(2x - 1) = 10x^2 + 3x - 4\). в) \((3p + 2c)(2p + 4c)\) Раскроем скобки: \[3p \cdot 2p + 3p \cdot 4c + 2c \cdot 2p + 2c \cdot 4c = 6p^2 + 12pc + 4pc + 8c^2 = 6p^2 + 16pc + 8c^2\] Имеем, \((3p + 2c)(2p + 4c) = 6p^2 + 16pc + 8c^2\). г) \((b - 2)(b^2 + 2b - 3)\) Раскроем скобки: \[b \cdot b^2 + b \cdot 2b - b \cdot 3 - 2 \cdot b^2 - 2 \cdot 2b + 2 \cdot 3 = b^3 + 2b^2 - 3b - 2b^2 - 4b + 6 = b^3 - 7b + 6\] Итак, \((b - 2)(b^2 + 2b - 3) = b^3 - 7b + 6\).

2. Разложите на множители.

а) \(x(x - y) + a(x - y)\) Заметим, что \((x - y)\) является общим множителем: \[x(x - y) + a(x - y) = (x - y)(x + a)\] Итак, \(x(x - y) + a(x - y) = (x - y)(x + a)\). б) \(2a - 2b + ca - cb\) Сгруппируем члены и вынесем общие множители: \[2(a - b) + c(a - b) = (a - b)(2 + c)\] Следовательно, \(2a - 2b + ca - cb = (a - b)(2 + c)\).

3. Упростите выражение:

\[0.5x(4x^2 - 1)(5x^2 + 2)\] Сначала умножим \(0.5x\) на \((4x^2 - 1)\): \[0.5x \cdot (4x^2 - 1) = 2x^3 - 0.5x\] Теперь умножим полученное выражение на \((5x^2 + 2)\): \[(2x^3 - 0.5x)(5x^2 + 2) = 2x^3 \cdot 5x^2 + 2x^3 \cdot 2 - 0.5x \cdot 5x^2 - 0.5x \cdot 2 = 10x^5 + 4x^3 - 2.5x^3 - x = 10x^5 + 1.5x^3 - x\] Итак, \(0.5x(4x^2 - 1)(5x^2 + 2) = 10x^5 + 1.5x^3 - x\).

4. Представьте многочлен в виде произведения.

а) \(2a - ac - 2c + c^2\) Сгруппируем члены и вынесем общие множители: \[2(a - c) - c(a - c) = (a - c)(2 - c)\] Следовательно, \(2a - ac - 2c + c^2 = (a - c)(2 - c)\). б) \(bx + by - x - y - ax - ay\) Сгруппируем члены и вынесем общие множители: \[b(x + y) - 1(x + y) - a(x + y) = (x + y)(b - 1 - a)\] Итак, \(bx + by - x - y - ax - ay = (x + y)(b - 1 - a)\).

5. Бассейн имеет прямоугольную форму. Одна из его сторон на 6 м больше другой. Он окружен дорожкой, ширина которой 0,5 м. Найдите стороны бассейна, если площадь окружающей его дорожки 15 м².

Пусть одна сторона бассейна равна \(x\) м, тогда другая сторона равна \((x + 6)\) м. Ширина дорожки 0,5 м, следовательно, стороны бассейна вместе с дорожкой будут: \((x + 2 \cdot 0.5) = (x + 1)\) м и \((x + 6 + 2 \cdot 0.5) = (x + 7)\) м. Площадь бассейна с дорожкой равна \((x + 1)(x + 7)\) м², а площадь только бассейна равна \(x(x + 6)\) м². Площадь дорожки равна разности площадей бассейна с дорожкой и только бассейна: \[(x + 1)(x + 7) - x(x + 6) = 15\] Раскроем скобки и упростим уравнение: \[x^2 + 7x + x + 7 - x^2 - 6x = 15\] \[2x + 7 = 15\] \[2x = 8\] \[x = 4\] Итак, одна сторона бассейна равна 4 м, тогда другая сторона равна \((4 + 6) = 10\) м.

Ответ: 1) a^2 - 8a + 15; б) 10x^2 + 3x - 4; в) 6p^2 + 16pc + 8c^2; г) b^3 - 7b + 6; 2) а) (x - y)(x + a); б) (a - b)(2 + c); 3) 10x^5 + 1.5x^3 - x; 4) а) (a - c)(2 - c); б) (x + y)(b - 1 - a); 5) 4 м и 10 м.

Молодец! Ты отлично справился с этими заданиями! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится! Удачи в учебе!