Выполните задание. Найти площадь и периметр указанных фигур. 10) В треугольнике АВС ∠С = 90°. Найдите неизвестную сторону треугольника, используя данные рисунка. 11) В треугольнике РКМ ∠М = 90°. Найдите периметр треугольника, используя данные рисунка. 12) В треугольника АВС известно, что АВ = 26, ВС = 24, АС = 10. Определите, является ли данный треугольник прямоугольным. В случае положительного ответа укажите длину гипотенузы. 13) ODST – параллелограмм. 14) МNHC – трапеция. 15) CHPL – ромб. СР = 24, HL = 32

Выполняем задание.

Найдём площадь и периметр указанных фигур.

10) Треугольник ABC

Логика такая: Нам дан прямоугольный треугольник ABC с углом C = 90°. Известны катет AC = x и угол B = 30°. Катет BC = 6. Нужно найти катет AC.

Вспоминаем определение тангенса угла в прямоугольном треугольнике: тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

В нашем случае:

\[tg(B) = \frac{AC}{BC}\]

Выражаем AC:

\[AC = BC \cdot tg(B)\]

Тангенс 30° равен \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). Подставляем известные значения:

\[AC = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\]

Ответ: \(AC = 2\sqrt{3}\)

11) Треугольник PKM

Смотри, тут всё просто: Дан прямоугольный треугольник PKM с углом M = 90°. Известны катеты PM = 5 и KM = 13. Нужно найти периметр треугольника.

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. Нам не хватает гипотенузы PK. Воспользуемся теоремой Пифагора:

\[PK^2 = PM^2 + KM^2\]

Подставляем значения:

\[PK^2 = 5^2 + 13^2 = 25 + 169 = 194\]

Находим PK:

\[PK = \sqrt{194}\]

Теперь найдём периметр P:

\[P = PM + KM + PK = 5 + 13 + \sqrt{194} = 18 + \sqrt{194}\]

Ответ: Периметр треугольника PKM равен \(18 + \sqrt{194}\)

12) Треугольник ABC

Разбираемся: Нам дан треугольник ABC со сторонами AB = 26, BC = 24 и AC = 10. Нужно определить, является ли он прямоугольным.

Вспоминаем теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Проверим, выполняется ли это условие для нашего треугольника.

Предположим, что AB – гипотенуза (самая длинная сторона). Тогда:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

Подставляем значения:

\[26^2 = 10^2 + 24^2\] \[676 = 100 + 576\] \[676 = 676\]

Равенство выполняется, значит, треугольник ABC – прямоугольный, и гипотенуза равна 26.

Ответ: Треугольник ABC – прямоугольный, гипотенуза AB = 26.

13) Параллелограмм ODST

Нам дан параллелограмм ODST со сторонами OD = 12, DB = 20, ST = 16 и OB = 10. Нужно найти площадь и периметр параллелограмма.

Находим периметр P:

\[P = 2(OD + ST) = 2(12 + 16) = 2 \cdot 28 = 56\]

Для нахождения площади воспользуемся формулой площади параллелограмма через основание и высоту. В данном случае нам известна сторона OD = 12 и высота к ней, равная BO = 10. Тогда:

\[S = OD \cdot BO = 12 \cdot 10 = 120\]

Ответ: Периметр параллелограмма равен 56, площадь равна 120.

14) Трапеция МNHC

Нам дана трапеция MNHC с основаниями MH = 6, LC = 10 и высотой NL = 6. Нужно найти площадь и периметр трапеции.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой:

\[S = \frac{MH + LC}{2} \cdot NL = \frac{6 + 10}{2} \cdot 6 = \frac{16}{2} \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48\]

Для нахождения периметра нам нужно найти сторону NC. Рассмотрим прямоугольный треугольник NLC. В нём NL = 6 и LC = 10.

По теореме Пифагора:

\[NC^2 = NL^2 + LC^2\] \[NC = \sqrt{NL^2 + LC^2} = \sqrt{6^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136}\]

Тогда периметр равен:

\[P = MH + HN + NC + CL = 6 + 6 + 10 + \sqrt{136} = 22 + \sqrt{136}\]

Ответ: Площадь трапеции равна 48, периметр равен \(22 + \sqrt{136}\).

15) Ромб CHPL

Нам дан ромб CHPL с диагоналями CP = 24 и HL = 32. Нужно найти площадь и периметр ромба.

Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей:

\[S = \frac{1}{2} \cdot CP \cdot HL = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 32 = 12 \cdot 32 = 384\]

Периметр ромба равен учетверённой стороне. Так как диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и образуют прямой угол, то половинки диагоналей являются катетами прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является сторона ромба.

Половина CP = 12, половина HL = 16. Тогда сторона ромба равна:

\[a = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\]

Тогда периметр равен:

\[P = 4 \cdot a = 4 \cdot 20 = 80\]

Ответ: Площадь ромба равна 384, периметр равен 80.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что правильно применил теорему Пифагора для прямоугольных треугольников и формулы площадей для разных фигур.

Уровень Эксперт: Всегда проверяй, что ты знаешь формулы площадей и периметров основных геометрических фигур. Это поможет тебе решать задачи быстрее и эффективнее!