Выполните задания: 1. Разложите на простые множители числа 120 и 180 и найдите их общий делитель. 2. Являются ли взаимно простыми числа: а) 55 и 78? г) 701 и 853?

1. Разложим числа на простые множители, последовательно деля на простые числа.

120 = 2 · 60 = 2 · 2 · 30 = 2³ · 15 = 2³ · 3 · 5.

180 = 2 · 90 = 2² · 45 = 2² · 3² · 5.

Общие простые множители в наименьших степенях: 2² и 3 · 5. Поэтому НОД(120; 180) = 2² · 3 · 5 = 60.

Ответ: 120 = 2³ · 3 · 5; 180 = 2² · 3² · 5; НОД(120; 180) = 60.

2. Два числа взаимно просты, если их НОД равен 1.

а) 55 и 78. Разложим: 55 = 5 · 11, 78 = 2 · 3 · 13. Общих простых множителей нет, значит, НОД равен 1.

Ответ: 55 и 78 взаимно просты.

г) 701 и 853. По алгоритму Евклида: 853 − 701 = 152; 701 = 4 · 152 + 93; 152 = 93 + 59; 93 = 59 + 34; 59 = 34 + 25; 34 = 25 + 9; 25 = 2 · 9 + 7; 9 = 7 + 2; 7 = 3 · 2 + 1. Последний ненулевой остаток равен 1, значит, НОД(701; 853) = 1.

Ответ: 701 и 853 взаимно просты.