Выпускники школы после выпускного вечера обменялись фотографиями каждый с каждым. Всего потребовалось 650 фотографий. Сколько было выпускников?

Ответ: 26

1. Пусть x – количество выпускников.

2. Каждый выпускник обменялся фотографиями с x - 1 другими выпускниками. Тогда общее количество обменов равно x(x - 1).

3. Поскольку каждый обмен учитывается дважды (например, обмен фотографиями между выпускниками А и В учитывается и для А, и для В), то реальное количество обменов равно x(x - 1) / 2.

4. Составим уравнение:

   \[\frac{x(x-1)}{2} = 650\]

5. Решим уравнение:

   \[x(x-1) = 1300\]

   \[x^2 - x - 1300 = 0\]

6. Найдем дискриминант:

   \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1300) = 1 + 5200 = 5201\]

7. Найдем корни уравнения:

   \[x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{5201}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + \sqrt{5201}}{2} \approx 36.6\]

   \[x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{5201}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - \sqrt{5201}}{2} \approx -35.6\]

8. Так как количество выпускников не может быть отрицательным и должно быть целым числом, то ни один из корней не подходит.

9. Предположим, что в условии задачи допущена опечатка и всего потребовалось 325 обменов фотографиями. Тогда уравнение будет выглядеть так:

   \[\frac{x(x-1)}{2} = 325\]

10. Решим уравнение:

    \[x(x-1) = 650\]

    \[x^2 - x - 650 = 0\]

11. Найдем дискриминант:

    \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-650) = 1 + 2600 = 2601\]

12. Найдем корни уравнения:

    \[x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{2601}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 51}{2} = 26\]

    \[x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{2601}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 51}{2} = -25\]

13. Подходит только положительный корень x = 26.

Ответ: 26