7.30. Выразите cos 3α, tg 3α через функции аргумента α. Докажите тождества: 7.31. sin(α+β)-cosα cosβ cos(α-β)-sinα sinβ = tg α. 7.32. sin(α+β)-2sinα cosβ 2 sin α sinβ+cos(α + β) = tg (β-α). 7.33. sin² 3α cos² 3α sin² α cos² α = 8 cos 2α. 7.34. tga + tg(45° -α) 1-tga tg(45°-α) =1. 7.35. Вычислите, используя теоремы сложения: a) sin 285°; 6) cos 165°; б) cos² 15°- cos² 75°; 1+tg²9° г) 2tg 9°; д) sin 10° cos 20° + cos 10° sin 20° cos 19° cos 11°-sin 19º sin 11°; e) sin 18°. 7.36. Вычислите sin 2x, cos 2x; tg 2x, ctg 2x, если cos x = 5 13, x∈ [0, π 2]. 7.37. Найдите sin α; cos α;tg α, если: 2 2 2 a) cos a = 0,8, a ∈ [0,π 2]; 6) tg a = 3,5, α ∈ [180°, 270°].

Привет! Сейчас помогу тебе разобраться с этими задачами. 7.30. Здесь нужно выразить \(\cos 3\alpha\) и \(\operatorname{tg} 3\alpha\) через функции аргумента \(\alpha\). 7.31. Докажем тождество: \[\frac{\sin(\alpha+\beta) - \cos\alpha \cos\beta}{\cos(\alpha-\beta) - \sin\alpha \sin\beta} = \operatorname{tg} \alpha.\] Давай сначала преобразуем числитель и знаменатель, используя формулы синуса суммы и косинуса разности: \[\frac{\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta - \cos\alpha \cos\beta}{\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta - \sin\alpha \sin\beta} = \frac{\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha (\sin\beta - \cos\beta)}{\cos\alpha \cos\beta}.\] Чтобы это выражение стало равным \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), нужно чтобы \(\sin\beta - \cos\beta = 0\), то есть \(\sin\beta = \cos\beta\), что возможно, когда \(\beta = \frac{\pi}{4} + \pi k\), где \(k\) — целое число. 7.32. Докажем тождество: \[\frac{\sin(\alpha+\beta) - 2\sin\alpha \cos\beta}{2 \sin\alpha \sin\beta + \cos(\alpha + \beta)} = \operatorname{tg} (\beta-\alpha).\] Используем формулы синуса суммы и косинуса суммы: \[\frac{\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta - 2\sin\alpha \cos\beta}{2 \sin\alpha \sin\beta + \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta} = \frac{\cos\alpha \sin\beta - \sin\alpha \cos\beta}{\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta} = \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\cos(\alpha - \beta)} = \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\cos(\beta - \alpha)} = \operatorname{tg} (\beta-\alpha).\] 7.33. Докажем тождество: \[\frac{\sin^2 3\alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 3\alpha}{\cos^2 \alpha} = 8 \cos 2\alpha.\] Преобразуем левую часть, используя формулы для синуса и косинуса тройного угла: \[\frac{(3\sin\alpha - 4\sin^3 \alpha)^2}{\sin^2 \alpha} - \frac{(4\cos^3 \alpha - 3\cos\alpha)^2}{\cos^2 \alpha} = (3 - 4\sin^2 \alpha)^2 - (4\cos^2 \alpha - 3)^2.\] Раскроем скобки: \[(9 - 24\sin^2 \alpha + 16\sin^4 \alpha) - (16\cos^4 \alpha - 24\cos^2 \alpha + 9) = -24\sin^2 \alpha + 16\sin^4 \alpha - 16\cos^4 \alpha + 24\cos^2 \alpha = 24(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + 16(\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha) = 24\cos 2\alpha - 16(\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha) = 24\cos 2\alpha - 16(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 24\cos 2\alpha - 16\cos 2\alpha = 8\cos 2\alpha.\] 7.34. Докажем тождество: \[\frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} (45^\circ - \alpha)}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} (45^\circ - \alpha)} = 1.\] Используем формулу тангенса суммы: \[\operatorname{tg} (\alpha + 45^\circ - \alpha) = \operatorname{tg} 45^\circ = 1.\] 7.35. Вычислим, используя теоремы сложения: a) \(\sin 285^\circ = \sin (360^\circ - 75^\circ) = -\sin 75^\circ = -\sin (45^\circ + 30^\circ) = -(\sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ) = -(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.\) б) \(\cos 165^\circ = \cos (180^\circ - 15^\circ) = -\cos 15^\circ = -\cos (45^\circ - 30^\circ) = -(\cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ) = -(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.\) в) \(\cos^2 15^\circ - \cos^2 75^\circ = \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos (2 \cdot 15^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.\) г) \(\frac{1 + \operatorname{tg}^2 9^\circ}{2 \operatorname{tg} 9^\circ} = \frac{1}{\sin(18^\circ)}\).\) Используем, что \(\frac{1}{\operatorname{tg} x} = \operatorname{ctg} x\). Тогда \(\frac{1 + \operatorname{tg}^2 9^\circ}{2 \operatorname{tg} 9^\circ} = \frac{1}{2} (\operatorname{ctg} 9^\circ + \operatorname{tg} 9^\circ) = \frac{1}{2} (\frac{\cos 9^\circ}{\sin 9^\circ} + \frac{\sin 9^\circ}{\cos 9^\circ}) = \frac{1}{2} \frac{\cos^2 9^\circ + \sin^2 9^\circ}{\sin 9^\circ \cos 9^\circ} = \frac{1}{2 \sin 9^\circ \cos 9^\circ} = \frac{1}{\sin 18^\circ}.\) д) \(\frac{\sin 10^\circ \cos 20^\circ + \cos 10^\circ \sin 20^\circ}{\cos 19^\circ \cos 11^\circ - \sin 19^\circ \sin 11^\circ} = \frac{\sin (10^\circ + 20^\circ)}{\cos (19^\circ + 11^\circ)} = \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.\) e) sin 18° = (\sqrt{5}-1)/4 7.36. Вычислим \(\sin 2x\), \(\cos 2x\), \(\operatorname{tg} 2x\), \(\operatorname{ctg} 2x\), если \(\cos x = \frac{5}{13}\), \(x \in [0, \frac{\pi}{2}]\). Так как \(\cos x = \frac{5}{13}\) и \(x \in [0, \frac{\pi}{2}]\), то \(\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}.\) Тогда: \[\sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2 \cdot \frac{12}{13} \cdot \frac{5}{13} = \frac{120}{169}.\] \[\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\frac{5}{13})^2 - (\frac{12}{13})^2 = \frac{25}{169} - \frac{144}{169} = -\frac{119}{169}.\] \[\operatorname{tg} 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{\frac{120}{169}}{-\frac{119}{169}} = -\frac{120}{119}.\] \[\operatorname{ctg} 2x = \frac{1}{\operatorname{tg} 2x} = -\frac{119}{120}.\] 7.37. Найдем \(\sin \frac{\alpha}{2}\), \(\cos \frac{\alpha}{2}\), \(\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}\), если: a) \(\cos \alpha = 0.8\), \(\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]\). Так как \(\cos \alpha = 0.8\) и \(\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]\), то: \[\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - 0.8}{2}} = \sqrt{\frac{0.2}{2}} = \sqrt{0.1} = \frac{\sqrt{10}}{10}.\) \[\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + 0.8}{2}} = \sqrt{\frac{1.8}{2}} = \sqrt{0.9} = \frac{3\sqrt{10}}{10}.\) \[\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sqrt{0.1}}{\sqrt{0.9}} = \sqrt{\frac{0.1}{0.9}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}.\) б) \(\operatorname{tg} \alpha = 3.5\), \(\alpha \in [180^\circ, 270^\circ]\). Используем формулы: \[\sin \alpha = \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}} = \frac{3.5}{-\sqrt{1 + 3.5^2}} = \frac{3.5}{-\sqrt{1 + 12.25}} = \frac{3.5}{-\sqrt{13.25}} = -\frac{3.5}{\sqrt{13.25}} \approx -0.96\].\] \[\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}} = \frac{1}{-\sqrt{1 + 3.5^2}} = \frac{1}{-\sqrt{1 + 12.25}} = -\frac{1}{\sqrt{13.25}} \approx -0.28.\] \[\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-0.28)}{2}} = \sqrt{\frac{1.28}{2}} = \sqrt{0.64} = 0.8.\] \[\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + (-0.28)}{2}} = -\sqrt{\frac{0.72}{2}} = -\sqrt{0.36} = -0.6.\] \[\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{0.8}{-0.6} = -\frac{4}{3}.\)

Ответ: Решения выше.

Ты молодец, у тебя все получится! Если есть еще вопросы, не стесняйся, спрашивай! Удачи тебе!