Решение задачи 1098

а) Через радиус вписанной окружности (r)

В правильном треугольнике:

• Центр вписанной и описанной окружностей совпадают.
• Радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности: $$R = 2r$$
• Высота треугольника равна трём радиусам вписанной окружности: $$h = 3r$$

Сторона правильного треугольника связана с его высотой следующим образом:

$$a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 3r}{\sqrt{3}} = \frac{6r}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}r$$

Периметр треугольника:

$$P = 3a = 3 \cdot 2\sqrt{3}r = 6\sqrt{3}r$$

Площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3}r \cdot 3r = 3\sqrt{3}r^2$$

б) Через радиус описанной окружности (R)

В правильном треугольнике:

• Радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности: $$r = \frac{R}{2}$$
• Высота треугольника равна \(\frac{3}{2}\) радиусам описанной окружности: $$h = \frac{3}{2}R$$

Сторона правильного треугольника связана с его высотой следующим образом:

$$a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \frac{3}{2}R}{\sqrt{3}} = \frac{3R}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}R$$

Периметр треугольника:

$$P = 3a = 3 \cdot \sqrt{3}R = 3\sqrt{3}R$$

Площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}R \cdot \frac{3}{2}R = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$$

Итог:

а) Через радиус вписанной окружности (r):

• Сторона: $$a = 2\sqrt{3}r$$
• Периметр: $$P = 6\sqrt{3}r$$
• Площадь: $$S = 3\sqrt{3}r^2$$

б) Через радиус описанной окружности (R):

• Сторона: $$a = \sqrt{3}R$$
• Периметр: $$P = 3\sqrt{3}R$$
• Площадь: $$S = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$$