1. Высота BD прямоугольного треугольника АВС равна 24 см и отсекает от гипотенузы АС отрезок DC, равный 18 см. Найдите АB и sin B. 2. Диагональ АС прямоугольника ABCD равна 6 см и составляет со стороной AD угол в 30 . Найдите площадь прямоугольника ABCD.

Question

Вопрос:

1. Высота BD прямоугольного треугольника АВС равна 24 см и отсекает от гипотенузы АС отрезок DC, равный 18 см. Найдите АB и sin B. 2. Диагональ АС прямоугольника ABCD равна 6 см и составляет со стороной AD угол в 30 . Найдите площадь прямоугольника ABCD.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Задача №1

Краткое пояснение: Сначала найдем сторону BC, используя теорему Пифагора. Затем найдем гипотенузу AC и сторону AB. После этого рассчитаем синус угла B.

Шаг 1: Находим BC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. По теореме Пифагора:

\[BC^2 = BD^2 + DC^2\]\[BC^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900\]\[BC = \sqrt{900} = 30 \text{ см}\]

Шаг 2: Находим AC.

AC = AD + DC. Чтобы найти AD, рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Выразим AD через тангенс угла, образованного высотой BD и катетом AD, который равен углу C, т.е. \(\angle C = \angle BDC\). Итак, \(\angle C = arctg \frac{BD}{DC} = arctg \frac{24}{18} = arctg \frac{4}{3}\)

Тогда, \(\angle A = 90 - arctg \frac{4}{3}\)

Используем, что треугольники BDC и ADB подобны (оба прямоугольные и имеют общий угол C), следовательно:

\[\frac{BD}{AD} = \frac{DC}{BD}\]\[AD = \frac{BD^2}{DC} = \frac{24^2}{18} = \frac{576}{18} = 32 \text{ см}\]

Тогда, \(AC = AD + DC = 32 + 18 = 50 \text{ см}\)

Шаг 3: Находим AB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора:

\[AB^2 = AC^2 - BC^2\]\[AB^2 = 50^2 - 30^2 = 2500 - 900 = 1600\]\[AB = \sqrt{1600} = 40 \text{ см}\]

Шаг 4: Находим sin B.

Синус угла B в прямоугольном треугольнике ABC равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

\[sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{32}{50} = 0.64\]

Ответ: AB = 40 см, sin B = 0.64

Задача №2

Краткое пояснение: Используем известные данные о диагонали и угле, чтобы найти стороны прямоугольника, а затем вычисляем его площадь.

Шаг 1: Находим AD.

В прямоугольнике ABCD диагональ AC образует угол 30° со стороной AD. Следовательно, треугольник ADC является прямоугольным. Сторона AD является прилежащим катетом к углу в 30°.

\[AD = AC \cdot cos(30^\circ)\]\[AD = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ см}\]

Шаг 2: Находим CD.

Сторона CD является противолежащим катетом к углу в 30°.

\[CD = AC \cdot sin(30^\circ)\]\[CD = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ см}\]

Шаг 3: Находим площадь прямоугольника ABCD.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:

\[S = AD \cdot CD\]\[S = 3\sqrt{3} \cdot 3 = 9\sqrt{3} \text{ см}^2\]

Ответ: \(S = 9\sqrt{3} \) см²