1. Высота BD прямоугольного треугольника АВС равна 24 см и отсекает от гипотенузы АС отрезок DC, равный 18 см. Найдите АВ и cos А.

Треугольник ABC - прямоугольный, BD - высота, проведенная к гипотенузе.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. По теореме Пифагора: $$BC = \sqrt{BD^2 + DC^2} = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30$$ см.

Из подобия треугольников ABC и BDC (оба прямоугольные, ∠C - общий): $$\frac{AB}{BD} = \frac{BC}{DC}$$, отсюда $$AB = \frac{BD \cdot BC}{DC} = \frac{24 \cdot 30}{18} = \frac{4 \cdot 30}{3} = 4 \cdot 10 = 40$$ см.

Используем теорему Пифагора для треугольника ABD: $$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{40^2 - 24^2} = \sqrt{1600 - 576} = \sqrt{1024} = 32$$ см.

Тогда гипотенуза AC = AD + DC = 32 + 18 = 50 см.

Косинус угла A в треугольнике ABC: $$cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5} = 0,8$$.

Ответ: АВ = 40 см, cos A = 0,8