5. Высота $$BD$$ треугольника $$ABC$$ делит сторону $$AC$$ на отрезки $$AD$$ и $$CD$$, $$AB = 12$$ см, $$\angle A = 60^\circ$$, $$\angle CBD = 30^\circ$$. Найдите отрезок $$CD$$.

Начнем решать задачу. 1. Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Мы знаем, что $$\angle A = 60^\circ$$. Так как $$BD$$ - высота, то $$\angle ADB = 90^\circ$$. Тогда $$\angle ABD = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$. 2. Теперь рассмотрим треугольник $$ABC$$. Мы знаем $$AB = 12$$ см. В прямоугольном треугольнике против угла в $$30^\circ$$ лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, $$AD = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$$ см. 3. Рассмотрим треугольник $$CBD$$. Мы знаем, что $$\angle CBD = 30^\circ$$ и $$\angle CDB = 90^\circ$$. Тогда $$\angle BCD = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$. 4. Теперь рассмотрим треугольник $$ABD$$. Мы знаем $$AB = 12$$ и $$\angle A = 60^\circ$$. Используем определение косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике: $$\cos A = \frac{AD}{AB}$$, откуда $$AD = AB \cos A = 12 \cos 60^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$$. 5. В прямоугольном треугольнике $$ABD$$: $$\tan A = \frac{BD}{AD}$$, значит, $$BD = AD \tan A = 6 \tan 60^\circ = 6 \sqrt{3}$$. 6. Теперь в прямоугольном треугольнике $$CBD$$: $$\tan \angle CBD = \frac{CD}{BD}$$, значит, $$CD = BD \tan \angle CBD = 6 \sqrt{3} \tan 30^\circ = 6 \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 6$$. Ответ: $$CD = 6$$ см.