Высота BH, опущенная на гипотенузу AC = 24 прямоугольного треугольника ABC, делит гипотенузу на отрезки AH и HC, причём AH : HC = 1 : 3. Найди длину меньшего катета треугольника.

Пусть \(AH=x\), тогда \(HC=3x\).

Для высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника, справедливо:

\[BH^2=AH\cdot HC\]

Подставим данные:

\[24^2=x\cdot 3x\]

\[576=3x^2,\quad x^2=192,\quad x=8\sqrt{3}\]

Тогда \(AC=AH+HC=4x=32\sqrt{3}\).

Катеты находятся по формулам:

\[AB^2=AC\cdot AH=32\sqrt{3}\cdot 8\sqrt{3}=768,\quad AB=16\sqrt{3}\]

\[BC^2=AC\cdot HC=32\sqrt{3}\cdot 24\sqrt{3}=2304,\quad BC=48\]

Меньший катет равен \(16\sqrt{3}\).

Ответ: \(16\sqrt{3}\).