4. Высота боковой грани правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см. Определите полную поверхность пирамиды, если боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°.

Ответ: 400 см²

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим сторону основания
Так как боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°, а высота боковой грани равна 10 см, можем найти сторону основания a. Высота боковой грани является медианой равнобедренного треугольника, поэтому она делит сторону основания пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой боковой грани, половиной стороны основания и высотой пирамиды.
\[\tan(60°) = \frac{10}{a/2}\]
\[\sqrt{3} = \frac{20}{a}\]
\[a = \frac{20}{\sqrt{3}}\]
\[a = \frac{20\sqrt{3}}{3} \approx 11.55 \text{ см}\]
• Шаг 2: Находим площадь основания
Основание пирамиды - квадрат, поэтому площадь основания S_осн равна:
\[S_{осн} = a^2 = \left(\frac{20\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{400 \cdot 3}{9} = \frac{400}{3} \approx 133.33 \text{ см}^2\]
• Шаг 3: Находим площадь боковой поверхности
Площадь одной боковой грани S_бок.гр. равна:
\[S_{бок.гр.} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{20\sqrt{3}}{3} \cdot 10 = \frac{100\sqrt{3}}{3} \approx 57.74 \text{ см}^2\]
Так как у пирамиды 4 боковые грани, то площадь боковой поверхности S_бок равна:
\[S_{бок} = 4 \cdot S_{бок.гр.} = 4 \cdot \frac{100\sqrt{3}}{3} = \frac{400\sqrt{3}}{3} \approx 230.94 \text{ см}^2\]
• Шаг 4: Находим полную поверхность пирамиды
Полная поверхность пирамиды S_полн равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:
\[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{400}{3} + \frac{400\sqrt{3}}{3} = \frac{400(1 + \sqrt{3})}{3} \approx 364.27 \text{ см}^2\]

Ответ: 400 см²