Высота DE треугольника CDF делит его сторону CF на отрезки CE и EF. Найдите сторону CD, если EF = 8 см, DF = 17 см, ∠C = 60°.

Решение:

В прямоугольном треугольнике DEF (так как DE — высота) по теореме Пифагора найдём катет DE:

\( DE^2 + EF^2 = DF^2 \)

\( DE^2 + 8^2 = 17^2 \)

\( DE^2 + 64 = 289 \)

\( DE^2 = 289 - 64 \)

\( DE^2 = 225 \)

\( DE = \sqrt{225} = 15 \) см.

Теперь рассмотрим треугольник CDE. Он прямоугольный, так как DE — высота.

В треугольнике CDE мы знаем катет DE = 15 см и угол \( \angle C = 60^{\circ} \). Нам нужно найти гипотенузу CD.

Используем тригонометрическую функцию тангенс:

\( \tan(C) = \frac{DE}{CE} \)

\( \tan(60^{\circ}) = \frac{15}{CE} \)

\( \sqrt{3} = \frac{15}{CE} \)

\( CE = \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} \) см.

Теперь, чтобы найти сторону CD, используем тригонометрическую функцию синус:

\( \sin(C) = \frac{DE}{CD} \)

\( \sin(60^{\circ}) = \frac{15}{CD} \)

\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{CD} \)

\( CD = \frac{15 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3} \) см.

Ответ: CD = 10\(\sqrt{3}\) см.