Высота конуса равна 9 см, а длина образующей 15 см. Вычислите площадь полной поверхности и объем конуса.

Решение:

Чтобы вычислить площадь полной поверхности и объем конуса, нам нужно найти радиус основания. Мы можем использовать теорему Пифагора, так как высота, радиус и образующая образуют прямоугольный треугольник:

\( r^2 + h^2 = l^2 \)

где:

• \( r \) — радиус основания конуса
• \( h \) — высота конуса (9 см)
• \( l \) — длина образующей (15 см)

Подставим известные значения:

\( r^2 + 9^2 = 15^2 \)

\( r^2 + 81 = 225 \)

\( r^2 = 225 - 81 \)

\( r^2 = 144 \)

\( r = \sqrt{144} \)

\( r = 12 \) см

1. Площадь полной поверхности конуса

Площадь полной поверхности конуса (S) вычисляется по формуле:

\( S = \pi r (r + l) \)

Подставим значения радиуса и образующей:

\( S = \pi \cdot 12 (12 + 15) \)

\( S = \pi \cdot 12 (27) \)

\( S = 324\pi \) см²

2. Объем конуса

Объем конуса (V) вычисляется по формуле:

\( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \)

Подставим значения радиуса и высоты:

\( V = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot 9 \)

\( V = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \cdot 9 \)

\( V = \pi \cdot 144 \cdot 3 \)

\( V = 432\pi \) см³

Ответ: Площадь полной поверхности конуса равна \( 324\pi \) см², а объем конуса равен \( 432\pi \) см³.