Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 2 + 12t – 5t², где h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 6 метров?

Решим задачу.

Высота мяча должна быть не менее 6 метров, то есть $$h(t) \ge 6$$. Подставим в неравенство выражение для $$h(t)$$.

$$2 + 12t - 5t^2 \ge 6$$

Перенесем все члены в правую часть, сменив знаки.

$$0 \ge 5t^2 - 12t + 4$$

$$5t^2 - 12t + 4 \le 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$5t^2 - 12t + 4 = 0$$.

Дискриминант:

$$D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64$$

$$t_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{12 + 8}{10} = \frac{20}{10} = 2$$

$$t_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{12 - 8}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$$

Теперь мы знаем, что парабола $$5t^2 - 12t + 4$$ пересекает ось времени в точках $$t = 0.4$$ и $$t = 2$$. Так как коэффициент перед $$t^2$$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, парабола меньше или равна нулю между корнями.

$$0.4 \le t \le 2$$

Чтобы найти, сколько времени мяч будет находиться на высоте не менее 6 метров, вычтем из большего корня меньший корень.

$$2 - 0.4 = 1.6$$

Ответ: 1.6