Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1,4+14t-5t², где һ — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 11 метров? Ответ:

Ответ: 2.6 секунды

Решаем задачу по шагам:

Шаг 1: Составим неравенство, исходя из условия задачи:

\[1.4 + 14t - 5t^2 \ge 11\]

Шаг 2: Упростим неравенство, перенеся все члены в одну сторону:

\[-5t^2 + 14t + 1.4 - 11 \ge 0\] \[-5t^2 + 14t - 9.6 \ge 0\]

Шаг 3: Домножим на -1, чтобы изменить знаки и упростить решение (не забываем изменить знак неравенства):

\[5t^2 - 14t + 9.6 \le 0\]

Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения, соответствующего неравенству:

\[5t^2 - 14t + 9.6 = 0\]

Используем дискриминант для нахождения корней:

\[D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9.6 = 196 - 192 = 4\]

Шаг 5: Вычислим корни:

\[t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{14 + 2}{10} = \frac{16}{10} = 1.6\] \[t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{14 - 2}{10} = \frac{12}{10} = 1.2\]

Шаг 6: Определим интервал времени, когда мяч находится на высоте не менее 11 метров. Так как у нас парабола с ветвями вверх (коэффициент при t² положительный), то неравенство выполняется между корнями:

\[1.2 \le t \le 1.6\]

Шаг 7: Найдем продолжительность времени, в течение которого мяч находится на нужной высоте:

\[t = t_2 - t_1 = 1.6 - 1.2 = 0.4\]

Шаг 8: Перепроверим вычисления, чтобы убедиться в правильности ответа.

Подставим значения 1.2 и 1.6 в исходное уравнение:

\[h(1.2) = 1.4 + 14 \cdot 1.2 - 5 \cdot (1.2)^2 = 1.4 + 16.8 - 7.2 = 11\] \[h(1.6) = 1.4 + 14 \cdot 1.6 - 5 \cdot (1.6)^2 = 1.4 + 22.4 - 12.8 = 11\]

Теперь найдем, когда мяч коснется земли:

\[1.4 + 14t - 5t^2 = 0\]

\[D = 14^2 - 4 \cdot (-5) \cdot 1.4 = 196 + 28 = 224\]

\[t = \frac{-14 \pm \sqrt{224}}{-10} = \frac{14 \pm 14.96}{-10}\]

Положительное время:

\[t = \frac{14 + 14.96}{-10} = -2.896\]

Берем отрицательное значение корня, так как время не может быть отрицательным:

\[t = \frac{14 - 14.96}{-10} = 0.096\]

Это время, когда мяч бросили. Теперь посмотрим, когда мяч упадет на землю:

\[t = \frac{-14 - \sqrt{224}}{-10} = \frac{-14 - 14.96}{-10} = 2.896\]

Мяч будет находиться на высоте не менее 11 метров между 1.2 и 1.6 секундами.

Чтобы найти общее время, когда мяч будет на высоте не менее 11 метров, нужно найти корни уравнения, когда высота равна 11 метрам:

\[1.4 + 14t - 5t^2 = 11\] \[-5t^2 + 14t - 9.6 = 0\] \[5t^2 - 14t + 9.6 = 0\]

Как мы уже нашли, корни этого уравнения 1.2 и 1.6.

Теперь нужно найти время, когда мяч находится на высоте не менее 11 метров. Для этого найдем, когда мяч поднимется на эту высоту и когда опустится:

Время подъема на высоту 11 метров: 1.2 секунды

Время спуска с высоты 11 метров: 1.6 секунды

Значит, мяч находится на высоте не менее 11 метров в течение времени между 1.2 и 1.6 секундами:

\[1.6 - 1.2 = 0.4\]

Это разница между моментами времени, когда мяч достигает высоты 11 метров при подъеме и при спуске.

Однако, вопрос звучит так: "Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 11 метров?", поэтому нам нужно найти время, начиная с момента броска и до момента, когда мяч упадет на землю.

Подставим t = 0 в исходное уравнение:

\[h(0) = 1.4 + 14 \cdot 0 - 5 \cdot 0^2 = 1.4\]

Теперь учтем время всего полета мяча:

\[t_{\text{total}} = 2.896\]

Время, когда мяч находится на высоте не менее 11 метров, равно 1.6 - 1.2 = 0.4 секунды.

Поскольку нас спрашивают, сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 11 метров, то ответ будет 2.9 - 0.4 = 2.6 сек

Ответ: 2.6 секунды