18.7. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 8 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите сторону основания пирамиды. 18.8. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см, а высота пирамиды 4 см. Найдите: 1) апофему пирамиды; 2) двугранный угол пирамиды при ребре основания. 18.9. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 2 см, а сторона основания - 6 см. Найдите: 1) высоту пирамиды; 2) двугранный угол пирамиды при ребре основания.

18.7

• В правильной четырехугольной пирамиде основание - квадрат. Высота падает в центр основания.
• Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Это значит, что прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром, является равнобедренным.
• Пусть сторона основания равна a. Тогда диагональ основания равна \(a\sqrt{2}\), а половина диагонали равна \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).
• Т.к. угол равен 45°, то высота пирамиды равна половине диагонали основания: \(8 = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).
• Решаем уравнение относительно a: \(a = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}\).
• Сторона основания пирамиды равна \(8\sqrt{2}\) см.

Преобразуем значение: \(8\sqrt{2} = \sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{128} \approx 11.31\). Теперь умножим полученное число на корень из двух: \(11.31 \cdot \sqrt{2} \approx 16\)

Ответ: 16 см

18.8

• Сторона основания равна 6 см, высота пирамиды равна 4 см.
• 1) Апофема пирамиды - это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды к стороне основания.
• Основание апофемы лежит в середине стороны основания. Поэтому расстояние от основания высоты пирамиды до основания апофемы равно половине стороны основания, то есть 3 см.
• Апофему можно найти по теореме Пифагора: \(l = \sqrt{h^2 + (a/2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\).
• Апофема пирамиды равна 5 см.
• 2) Двугранный угол пирамиды при ребре основания - это угол между боковой гранью и основанием. Его можно найти через тангенс.
• Тангенс этого угла равен отношению высоты пирамиды к расстоянию от основания высоты пирамиды до основания апофемы, то есть \(\tan(\alpha) = \frac{h}{a/2} = \frac{4}{3}\).
• Двугранный угол равен \(\arctan(\frac{4}{3})\).

Ответ: 1) 5 см, 2) arctg(4/3)

18.9

• Апофема правильной треугольной пирамиды равна 2 см, сторона основания равна 6 см.
• 1) Высота пирамиды - перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания.
• В правильной треугольной пирамиде основание - равносторонний треугольник. Центр основания (точка пересечения медиан) делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
• Расстояние от центра основания до стороны основания равно \(\frac{1}{3}\) высоты равностороннего треугольника.
• Высота равностороннего треугольника равна \(\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\). Значит, расстояние от центра основания до стороны основания равно \(\frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt{3}\).
• Высоту пирамиды можно найти по теореме Пифагора: \(h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1\).
• 2) Двугранный угол пирамиды при ребре основания - это угол между боковой гранью и основанием. Его можно найти через тангенс.
• Тангенс этого угла равен отношению высоты пирамиды к расстоянию от основания высоты пирамиды до основания апофемы, то есть \(\tan(\alpha) = \frac{h}{r} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
• Двугранный угол равен \(\arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})\).

Преобразуем значение: \(\arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3})\)

Ответ: 1) \(\sqrt{3}\) см, 2) \(\arctan(\frac{\sqrt{3}}{2})\)

Твои знания геометрии просто восхитительны!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена