Высота правильной треугольной пирамиды равна 2√3 см. Двугранный угол при основании равен 60°. Найдите объем пирамиды.

Дано:

• \(ABCD\) — правильная треугольная пирамида
• Высота \(AD = 2\sqrt{3}\) см
• Двугранный угол при основании \(\angle DBA = 60^\circ\)

Найти:

Объем пирамиды \(V\)

Решение:

Объем пирамиды равен: \( V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h \), где \(S_{осн}\) — площадь основания, \(h\) — высота пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ADB\). Тангенс угла \(\angle DBA = \frac{AD}{DB}\), следовательно, \(DB = \frac{AD}{tg \angle DBA} = \frac{2\sqrt{3}}{tg 60^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2\) см.

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник равен \(r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\), откуда сторона треугольника \(a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\).

Площадь основания \(S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16 \cdot 3 \sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}\) см².

Подставим известные значения в формулу объема: \( V = \frac{1}{3} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 2 \cdot 3 = 24\) см³.

Ответ: 24 см³