Высота правильной треугольной пирамиды равна \(\sqrt{\frac{11}{3}}\), а радиус описанного около пирамиды шара равен \(\frac{2.5\sqrt{3}}{\sqrt{11}}\). Найти длину апофемы.

Решение:

Обозначим:

• \(H\) — высота пирамиды, \(H = \sqrt{\frac{11}{3}}\)
• \(R\) — радиус описанного шара, \(R = \frac{2.5\sqrt{3}}{\sqrt{11}}\)
• \(a\) — сторона основания правильной треугольной пирамиды
• \(r\) — радиус вписанной окружности в основание (радиус основания)
• \(h_a\) — апофема пирамиды

Радиус описанного около основания правильного треугольника вычисляется по формуле:

\(r = \frac{a}{\sqrt{3}}\)

Высота правильной треугольной пирамиды связана с радиусом описанного шара и радиусом основания следующей формулой:

\(R^2 = r^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2\)

Подставим известные значения:

\(\left(\frac{2.5\sqrt{3}}{\sqrt{11}}\right)^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{\frac{11}{3}}}{2}\right)^2\)

\(\frac{6.25 \cdot 3}{11} = \frac{a^2}{3} + \frac{\frac{11}{3}}{4}\)

\(\frac{18.75}{11} = \frac{a^2}{3} + \frac{11}{12}\)

\(\frac{18.75}{11} - \frac{11}{12} = \frac{a^2}{3}\)

Приведём к общему знаменателю:

\(\frac{18.75 \cdot 12 - 11 \cdot 11}{132} = \frac{a^2}{3}\)

\(\frac{225 - 121}{132} = \frac{a^2}{3}\)

\(\frac{104}{132} = \frac{a^2}{3}\)

\(\frac{26}{33} = \frac{a^2}{3}\)

\(a^2 = \frac{26}{33} \cdot 3 = \frac{26}{11}\)

\(a = \sqrt{\frac{26}{11}}\)

Апофема \(h_a\) связана с высотой пирамиды \(H\) и радиусом основания \(r\) по теореме Пифагора:

\(h_a^2 = H^2 + r^2\)

Подставим значения \(H\) и \(r\):

\(r = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{\frac{26}{11}}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{26}{33}}\)

\(h_a^2 = \left(\sqrt{\frac{11}{3}}\right)^2 + \left(\sqrt{\frac{26}{33}}\right)^2\)

\(h_a^2 = \frac{11}{3} + \frac{26}{33}\)

\(h_a^2 = \frac{11 \cdot 11}{33} + \frac{26}{33} = \frac{121 + 26}{33} = \frac{147}{33} = \frac{49}{11}\)

\(h_a = \sqrt{\frac{49}{11}} = \frac{7}{\sqrt{11}} = \frac{7\sqrt{11}}{11}\)

Ответ: Апофема равна \(\frac{7\sqrt{11}}{11}\).