Высота, проведенная из вершины тупого угла прямоугольной трапеции, делит трапецию на квадрат и треугольник. Площадь треугольника равна 16 см². Найдите площадь трапеции, если ее острый угол равен 45°.

Определим тип задачи: геометрическая, вычисление площади трапеции.

Извлечём данные: трапеция прямоугольная, высота делит на квадрат и треугольник, площадь треугольника 16 см², острый угол 45°.

Анализ и решение:

1. Обозначим сторону квадрата (она же высота трапеции) как ( a ). Так как трапеция делится на квадрат и прямоугольный треугольник, то один из катетов треугольника равен ( a ). Площадь треугольника равна:

   \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2} \]

   По условию ( S = 16 \text{ см}^2 ), следовательно:

   \[ \frac{a^2}{2} = 16 \]

   \[ a^2 = 32 \]

   \[ a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см} \]

2. Так как острый угол трапеции равен 45°, то второй катет прямоугольного треугольника также равен ( a ) (треугольник равнобедренный). Это означает, что разность оснований трапеции равна ( a ).

3. Площадь трапеции равна:

   \[ S_{трап} = \frac{(b_1 + b_2) \cdot h}{2} \]

   где ( b_1 ) и ( b_2 ) — основания трапеции, ( h ) — высота.

   В нашем случае ( h = a ), а ( b_2 - b_1 = a ), где ( b_2 ) — большее основание. Тогда ( b_2 = b_1 + a ). Получаем:

   \[ S_{трап} = \frac{(b_1 + b_1 + a) \cdot a}{2} = \frac{(2b_1 + a) \cdot a}{2} \]

   Так как высота делит трапецию на квадрат и треугольник, то меньшее основание трапеции равно стороне квадрата, то есть ( b_1 = a = 4\sqrt{2} \text{ см} ). Тогда

   \[ S_{трап} = \frac{(2a + a) \cdot a}{2} = \frac{3a^2}{2} \]

   Подставим значение ( a^2 = 32 ):

   \[ S_{трап} = \frac{3 \cdot 32}{2} = 3 \cdot 16 = 48 \text{ см}^2 \]

Ответ: 48 см²