Высота, проведённая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна 6 см и делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 5 см больше другого. Найдите стороны треугольника.

Предмет: Математика

Класс: 8

Решение:

• Пусть меньший отрезок гипотенузы равен \(x\) см, тогда больший отрезок равен \(x + 5\) см.
• Высота, проведенная из вершины прямого угла, является средним геометрическим проекций катетов на гипотенузу: \[h^2 = x(x + 5)\]
• Подставляем известное значение высоты: \[6^2 = x(x + 5)\]\[36 = x^2 + 5x\]\[x^2 + 5x - 36 = 0\]
• Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант: \[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169\]

• Корни: \[x_1 = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4\]\[x_2 = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9\]

Так как длина не может быть отрицательной, то \(x = 4\) см. Тогда второй отрезок гипотенузы равен \(4 + 5 = 9\) см.

• Длина гипотенузы равна \(4 + 9 = 13\) см.
• Теперь найдем катеты. Пусть один катет равен \(a\), а другой \(b\). Используем теорему Пифагора:
  • \[a^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52\]
  • \[a = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\) см
  • \[b^2 = 9^2 + 6^2 = 81 + 36 = 117\]
  • \[b = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}\) см

Ответ: Катеты треугольника равны \(2\sqrt{13}\) см и \(3\sqrt{13}\) см, гипотенуза равна 13 см.