Высота прямоугольного треугольника АВС, опущенная на гипотенузу, разделила её на отрезки 3 и 27. Из вершины С прямого угла восстановлен перпендикуляр СМ к плоско- сти треугольника АВС, СМ = 40. Найдите расстояние от точки М до гипотенузы АВ.

Для решения данной задачи необходимо применить знания геометрии, а именно свойства прямоугольных треугольников и теорему Пифагора.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой. Пусть высота, опущенная из вершины C на гипотенузу AB, делит её на отрезки длиной 3 и 27. Тогда вся гипотенуза AB имеет длину 3 + 27 = 30.

2. Обозначим высоту, опущенную на гипотенузу, как CH. По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, опущенной на гипотенузу, имеем: $$CH^2 = AH \cdot HB$$, где AH = 3 и HB = 27.

3. Подставим значения: $$CH^2 = 3 \cdot 27 = 81$$, следовательно, $$CH = \sqrt{81} = 9$$.

4. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник СМН, где СМ перпендикулярна плоскости треугольника ABC, а значит, СМ перпендикулярна СН. Из условия задачи СМ = 40.

5. Нам нужно найти расстояние от точки M до гипотенузы AB. Это расстояние можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник CMH. Пусть искомое расстояние будет MH. По теореме Пифагора, $$MH = \sqrt{CM^2 + CH^2}$$.

6. Подставим значения: $$MH = \sqrt{40^2 + 9^2} = \sqrt{1600 + 81} = \sqrt{1681} = 41$$.

7. Пусть MK - перпендикуляр из точки M на гипотенузу AB. Тогда MK - искомое расстояние. Поскольку CM перпендикулярен плоскости ABC, то CM перпендикулярен AB. Следовательно, треугольник CMK - прямоугольный. Чтобы найти MK, рассмотрим треугольник MCH. Из точки M опустим перпендикуляр MK на AB.

8. Площадь треугольника MCH можно вычислить двумя способами: $$S = \frac{1}{2} \cdot CH \cdot CM$$ и $$S = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot MH$$. Приравняем эти выражения: $$\frac{1}{2} \cdot CH \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot MH$$

9. Упростим: $$CH \cdot CM = MK \cdot MH$$. Отсюда выразим MK: $$MK = \frac{CH \cdot CM}{MH}$$.

10. Подставим значения: $$MK = \frac{9 \cdot 40}{41} = \frac{360}{41} \approx 8.78$$.

Ответ округлим до сотых.

Ответ: 8.78