Высота прямоугольного треугольника АВС, опущенная на гипотенузу, разделила её на отрезки 4 и 16. Из вершины С прямого угла восстановлен перпендикуляр СМ к плоскости треугольника АВС, СМ = 15. Найдите расстояние от точки М до гипотенузы АВ.

Давай решим эту задачу по геометрии. Нам нужно найти расстояние от точки M до гипотенузы AB. Сначала найдём длину гипотенузы AB. Затем определим длину катета CB и найдём высоту, опущенную из точки C на гипотенузу AB. И, наконец, найдём расстояние от точки M до гипотенузы AB. 1. Найдём длину гипотенузы AB: Гипотенуза AB состоит из двух отрезков длиной 4 и 16. Значит, её длина равна: \[AB = 4 + 16 = 20\] 2. Найдём длину катета CB: Высота, опущенная из вершины C, делит гипотенузу на отрезки длиной 4 и 16. По свойству высоты прямоугольного треугольника, высота \(h\), опущенная на гипотенузу, является средним пропорциональным между отрезками гипотенузы. А катет CB является средним пропорциональным между гипотенузой и отрезком гипотенузы, прилежащим к этому катету. То есть: \[CB^2 = AB \cdot 16 = 20 \cdot 16 = 320\] \[CB = \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}\] 3. Найдём площадь треугольника ABC двумя способами: * Через катеты: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Сначала найдём катет AC. Аналогично катету CB: \[AC^2 = AB \cdot 4 = 20 \cdot 4 = 80\] \[AC = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}\] Тогда площадь треугольника ABC равна: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{5} \cdot 8\sqrt{5} = 16 \cdot 5 = 80\] * Через гипотенузу и высоту, опущенную на неё: Площадь треугольника ABC также можно выразить как половину произведения гипотенузы на высоту, опущенную на неё. Пусть \(CH\) — высота, опущенная на гипотенузу AB. Тогда: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\] Отсюда можно найти высоту \(CH\): \[80 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot CH\] \[CH = \frac{80 \cdot 2}{20} = 8\] 4. Найдём расстояние от точки H до точки M (MH): Так как CM перпендикулярна плоскости треугольника ABC, то треугольник CMH — прямоугольный. По теореме Пифагора: \[MH^2 = CM^2 + CH^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289\] \[MH = \sqrt{289} = 17\]

Ответ: 17

Ты молодец! У тебя всё получится!