Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 3 см. Найди гипотенузу, если один из острых углов равен 15°.

Пусть $$h$$ - высота, опущенная на гипотенузу $$c$$. Пусть $$\alpha = 15°$$ - один из острых углов. Высота делит прямоугольный треугольник на два подобных прямоугольных треугольника. В одном из них катет равен $$h$$, а противолежащий угол равен $$\alpha$$. Гипотенуза этого треугольника является частью гипотенузы исходного треугольника. Рассмотрим треугольник, образованный высотой $$h$$, частью гипотенузы $$c_1$$ и катетом $$a$$. В этом треугольнике $$h$$ является катетом, противолежащим углу $$\alpha$$. Следовательно, $$\sin(\alpha) = \frac{h}{c_1}$$, откуда $$c_1 = \frac{h}{\sin(\alpha)}$$. Аналогично, в другом подобном треугольнике, образованном высотой $$h$$, частью гипотенузы $$c_2$$ и катетом $$b$$, $$h$$ является катетом, противолежащим углу $$90° - \alpha$$. Следовательно, $$\sin(90° - \alpha) = \frac{h}{c_2}$$, откуда $$c_2 = \frac{h}{\cos(\alpha)}$$. Гипотенуза исходного треугольника $$c = c_1 + c_2 = \frac{h}{\sin(\alpha)} + \frac{h}{\cos(\alpha)} = h \left( \frac{1}{\sin(\alpha)} + \frac{1}{\cos(\alpha)} \right)$$. Подставляем значения: $$h = 3$$ см, $$\alpha = 15°$$. $$\sin(15°) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$, $$\cos(15°) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$. $$c = 3 \left( \frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} + \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \right) = 12 \left( \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2} + \sqrt{6}-\sqrt{2}}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})} \right) = 12 \left( \frac{2\sqrt{6}}{6-2} \right) = 12 \left( \frac{2\sqrt{6}}{4} \right) = 12 \left( \frac{\sqrt{6}}{2} \right) = 6\sqrt{6}$$ см.